Verificare se f(x)=-3|x| è una funzione. Se sì, verificare se iniettiva, suriettiva e trovare inversa.
Salve,
ho la seguente legge (quindi a priori non so se è una funzione):
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $\forall x \in \mathbb{Z}, f(x) = -3|x|$
devo verificare se si tratta di una una funzione ed in caso affermativo, verificare se essa è iniettiva, suriettiva e trovarne l'inversa.
Ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo, potreste per cortesia darci un'occhiata per correggere qualche errore e fornirmi qualche consiglio? Grazie mille!
i) verifico se la legge è una funzione:
$f(x) = -3|x|$
la domanda che perciò ci poniamo è la seguente:
ad ogni scelta di $x \in \mathbb{Z}$ nel dominio, si ottiene un solo valore di $y \in \mathbb{R}$ nel codominio?
Prima di tutto si tratta di una legge con valore assoluto, dalla quale si ottengono due leggi a seconda che x sia maggiore o uguale a zero o minore di zero, in particolare:
[tex]f(x)=\begin{cases} y = -3x & \mbox{ se } x \ge 0 \\ y = -3(-x) = 3x & \mbox{ se } x < 0 \end{cases}[/tex]
assegnando nella prima un valore $x \in \mathbb{Z}$ con $x \ge 0$ dal dominio, otteniamo un valore $y \in \mathbb{Z}$ e $y \le 0$, e poichè tutto l'insieme $\mathbb{Z}$ è incluso in $\mathbb{R}$, il valore $y$ ottenuto appartiene anche ad $\mathbb{R}$ e perciò proprio al codominio specificato dalla legge.
Analogamente, assegnando nella seconda un valore $x \in \mathbb{Z}$ con $x < 0$ dal dominio, otteniamo un valore $y \in \mathbb{Z}$ e $y > 0$, e poichè tutto l'insieme $\mathbb{Z}$ è incluso in $\mathbb{R}$, il valore $y$ ottenuto appartiene anche ad $\mathbb{R}$ e perciò proprio al codominio specificato dalla legge.
perciò sembrerebbe che la risposta alla precedente domanda sia sì, la legge è una funzione.
ii) è iniettiva?
cioè, vado a verificare se vale la seguente definizione:
siano:
[tex]\begin{array}{rcl} f(a) & = & -3|a| \\ f(b) & = & -3|b| \end{array}[/tex]
si avrà
[tex]\begin{array}{rcl} -3|a| & = & -3|b| \\ -\frac{1}{3}(-3|a|) & = & -\frac{1}{3}(-3|b|) \\ |a| & = & |b| \\ a & = & b \end{array}[/tex]
cioè l'uguaglianza è valida se contemporaneamente $a,b \ge 0$ oppure $a,b < 0$.
perciò sembra sia iniettiva.
iii) è suriettiva?
verifico che valga la seguente definizione:
denoto un elemento come $a$ nel dominio e la sua immagine come $a'$.
[tex]\begin{array}{rcl} -3|a| & = & a' \\ |a| & = & -\frac{1}{3}a' \end{array}[/tex]
ora, la domanda che ci poniamo perciò è:
$a$ apparterrà sempre al dominio $\mathbb{Z}$ per ogni scelta di $a'$ nel codominio $\mathbb{R}$?
Un mio dubbio: è giusto considerare casi separati per $a \ge 0, a <0$? io l'ho fatto nel seguente passaggio:
[tex]\begin{cases} a = -\frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a \ge 0 \\ -a = -\frac{1}{3}a' \iff a = \frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a < 0 \end{cases}[/tex]
sembra che NON sia suriettiva perchè:
sia nella prima che nella seconda solo se considero $a' = 0, a' = 3, a' = -3$ ottengo una soluzione intera, altrimenti
qualsiasi altro valore $a' \in \mathbb{R}$ nel codominio si prenda, $a$ assume sempre un valore razionale (frazionario) non appartenente all'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi, perciò non appartenente al dominio della funzione.
iv) ha inversa?
poichè non è una funzione biiettiva, non è possibile calcolare la funzione inversa.
cosa ne pensate? Per cortesia, potreste darmi una mano?
Grazie mille!
ho la seguente legge (quindi a priori non so se è una funzione):
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che $\forall x \in \mathbb{Z}, f(x) = -3|x|$
devo verificare se si tratta di una una funzione ed in caso affermativo, verificare se essa è iniettiva, suriettiva e trovarne l'inversa.
Ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo, potreste per cortesia darci un'occhiata per correggere qualche errore e fornirmi qualche consiglio? Grazie mille!
i) verifico se la legge è una funzione:
$f(x) = -3|x|$
la domanda che perciò ci poniamo è la seguente:
ad ogni scelta di $x \in \mathbb{Z}$ nel dominio, si ottiene un solo valore di $y \in \mathbb{R}$ nel codominio?
Prima di tutto si tratta di una legge con valore assoluto, dalla quale si ottengono due leggi a seconda che x sia maggiore o uguale a zero o minore di zero, in particolare:
[tex]f(x)=\begin{cases} y = -3x & \mbox{ se } x \ge 0 \\ y = -3(-x) = 3x & \mbox{ se } x < 0 \end{cases}[/tex]
assegnando nella prima un valore $x \in \mathbb{Z}$ con $x \ge 0$ dal dominio, otteniamo un valore $y \in \mathbb{Z}$ e $y \le 0$, e poichè tutto l'insieme $\mathbb{Z}$ è incluso in $\mathbb{R}$, il valore $y$ ottenuto appartiene anche ad $\mathbb{R}$ e perciò proprio al codominio specificato dalla legge.
Analogamente, assegnando nella seconda un valore $x \in \mathbb{Z}$ con $x < 0$ dal dominio, otteniamo un valore $y \in \mathbb{Z}$ e $y > 0$, e poichè tutto l'insieme $\mathbb{Z}$ è incluso in $\mathbb{R}$, il valore $y$ ottenuto appartiene anche ad $\mathbb{R}$ e perciò proprio al codominio specificato dalla legge.
perciò sembrerebbe che la risposta alla precedente domanda sia sì, la legge è una funzione.
ii) è iniettiva?
cioè, vado a verificare se vale la seguente definizione:
$\forall a,b in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a=b$
siano:
[tex]\begin{array}{rcl} f(a) & = & -3|a| \\ f(b) & = & -3|b| \end{array}[/tex]
si avrà
[tex]\begin{array}{rcl} -3|a| & = & -3|b| \\ -\frac{1}{3}(-3|a|) & = & -\frac{1}{3}(-3|b|) \\ |a| & = & |b| \\ a & = & b \end{array}[/tex]
cioè l'uguaglianza è valida se contemporaneamente $a,b \ge 0$ oppure $a,b < 0$.
perciò sembra sia iniettiva.
iii) è suriettiva?
verifico che valga la seguente definizione:
per ogni elemento $b$ nel codominio, esiste, ma NON è unico, un elemento $a$ nel dominio, per cui $f(a) = b$
$\forall b \in B, \exists a \in A | f(a) = b$
denoto un elemento come $a$ nel dominio e la sua immagine come $a'$.
[tex]\begin{array}{rcl} -3|a| & = & a' \\ |a| & = & -\frac{1}{3}a' \end{array}[/tex]
ora, la domanda che ci poniamo perciò è:
$a$ apparterrà sempre al dominio $\mathbb{Z}$ per ogni scelta di $a'$ nel codominio $\mathbb{R}$?
Un mio dubbio: è giusto considerare casi separati per $a \ge 0, a <0$? io l'ho fatto nel seguente passaggio:
[tex]\begin{cases} a = -\frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a \ge 0 \\ -a = -\frac{1}{3}a' \iff a = \frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a < 0 \end{cases}[/tex]
sembra che NON sia suriettiva perchè:
sia nella prima che nella seconda solo se considero $a' = 0, a' = 3, a' = -3$ ottengo una soluzione intera, altrimenti
qualsiasi altro valore $a' \in \mathbb{R}$ nel codominio si prenda, $a$ assume sempre un valore razionale (frazionario) non appartenente all'insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi, perciò non appartenente al dominio della funzione.
iv) ha inversa?
poichè non è una funzione biiettiva, non è possibile calcolare la funzione inversa.
cosa ne pensate? Per cortesia, potreste darmi una mano?
Grazie mille!
Risposte
Non è iniettiva: per es. f(-1) = f(1). Il tuo errore sta nella derivazione
$ |a| = |b| => a =b$
$ |a| = |b| => a =b$
cioè, praticamente scegliendo valori distinti, come ad esempio $1, -1$ dovrei ottenere funzioni distinte $f(1) \ne f(-1)$, ma invece ottengo $f(1) = f(-1)$ che è una stessa funzione, è giusto?
Giusto: iniettiva significa che a valori diversi dell'argomento corrispondono valori diversi della funzione, e qui non è. Graficamente, è iniettiva se ogni retta parallela all'asse x interseca la funzione in non più di un punto: qui il grafico è un angolo con la punta nell'origine e voltato in giù, quindi ogni retta parallela ad x, esclusa y = 0, interseca in due punti (se y < 0) o in nessun punto (se y > 0)
il resto dell'esercizio è corretto?
Riguardo quanto detto prima, una volta che prendo un elemento $a$ e la sua immagine $a'$ per verificare la suriettività,
anche in questo caso devo analizzare le due funzioni?
Riguardo quanto detto prima, una volta che prendo un elemento $a$ e la sua immagine $a'$ per verificare la suriettività,
anche in questo caso devo analizzare le due funzioni?
Un mio dubbio: è giusto considerare casi separati per $a \ge 0, a <0$? io l'ho fatto nel seguente passaggio:
[tex]\begin{cases} a = -\frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a \ge 0 \\ -a = -\frac{1}{3}a' \iff a = \frac{1}{3}a' & \mbox{ se } a < 0 \end{cases}[/tex]
Ma "suriettiva" cosa significa?
Non vuol dire che ad ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio?
E qui, il codominio non è $ \mathbb{R}$ ?
E il dominio, non è $ \mathbb{Z}$ ?
E la funzione, non è $f(x) = -3|x|$ ?
Quindi, la funzione fornisce solo valori interi, negativi o nulli, multipli di 3)
Quindi, ci sono un'infinità di valori del codominio che non possono essere ottenuti con questa funzione: tutti i reali, positivi o non multipli di 3.
Ti occorre qualcos'altro per concludere che non è suriettiva?
Non vuol dire che ad ogni elemento del codominio corrisponde almeno un elemento del dominio?
E qui, il codominio non è $ \mathbb{R}$ ?
E il dominio, non è $ \mathbb{Z}$ ?
E la funzione, non è $f(x) = -3|x|$ ?
Quindi, la funzione fornisce solo valori interi, negativi o nulli, multipli di 3)
Quindi, ci sono un'infinità di valori del codominio che non possono essere ottenuti con questa funzione: tutti i reali, positivi o non multipli di 3.
Ti occorre qualcos'altro per concludere che non è suriettiva?
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