Verificare se funzione, f(x) = x^3 - 3x, iniettiva e suriettiva
Salve,
devo verificare se la seguente funzione è suriettiva ed iniettiva:
$f(x) = x^3 - 3x$
verifico se iniettiva:
[tex]f(a) = a^3 - 3a \\ f(b) = b^3 - 3b \\ f(a) = f(b) \Rightarrow \\ a^3 - 3a = b^3 - 3a \\ a(a^2 - 3) = b(b^2 - 3)[/tex]
sembra essere iniettiva.
verifico se suriettiva:
qui incontro dei problemi, come faccio a dimostrarlo?
dovrei esplicitare per x, ma non riesco.
un'altra domanda:
raccogliendo a fattor comune ottengo [tex]f(x) = x(x^2-3)[/tex]
è giusto pensare la funzione data, come una composizione di due funzioni? Ad esempio
[tex]m(x) = x \\ n(x) = x^2 - 3[/tex]
queste due funzioni, (omettendo i vari passaggi che ho fatto per conto mio, sperando di aver fatto bene) risulteranno sia iniettive che suriettive, e perciò risulterà anche
[tex](m \circ n)(x) = m(n(x)) = m(x^2-3) = x^2 - 3[/tex]
solo che come risultato della composizione ottengo una funzione diversa dalla f(x), è perciò sbagliato risolvere l'esercizio con una composizione di funzione?
Per favore, potreste dirmi come dovrei procedere? Grazie mille!
devo verificare se la seguente funzione è suriettiva ed iniettiva:
$f(x) = x^3 - 3x$
verifico se iniettiva:
[tex]f(a) = a^3 - 3a \\ f(b) = b^3 - 3b \\ f(a) = f(b) \Rightarrow \\ a^3 - 3a = b^3 - 3a \\ a(a^2 - 3) = b(b^2 - 3)[/tex]
sembra essere iniettiva.
verifico se suriettiva:
qui incontro dei problemi, come faccio a dimostrarlo?
dovrei esplicitare per x, ma non riesco.
un'altra domanda:
raccogliendo a fattor comune ottengo [tex]f(x) = x(x^2-3)[/tex]
è giusto pensare la funzione data, come una composizione di due funzioni? Ad esempio
[tex]m(x) = x \\ n(x) = x^2 - 3[/tex]
queste due funzioni, (omettendo i vari passaggi che ho fatto per conto mio, sperando di aver fatto bene) risulteranno sia iniettive che suriettive, e perciò risulterà anche
[tex](m \circ n)(x) = m(n(x)) = m(x^2-3) = x^2 - 3[/tex]
solo che come risultato della composizione ottengo una funzione diversa dalla f(x), è perciò sbagliato risolvere l'esercizio con una composizione di funzione?
Per favore, potreste dirmi come dovrei procedere? Grazie mille!
Risposte
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$
$f(2)=(2)^3-3(2)=2$
Non è iniettiva ...
D'altra parte la derivata prima è $f'(x)=3x^2-3$ che si annulla in $x=+-1$ (eventuali max/min), la derivata seconda è $f''(x)=6x$, negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$ quindi $x=-1$ è un max locale mentre $x=1$ è un min locale e quindi si conferma non iniettiva ...
Però è suriettiva ... è una cubica ... il dominio è tutto $RR$, è continua in tutto il dominio ed illimitata sia superiormente che inferiormente (i limiti agli "infiniti" sono entrambi infiniti)
Cordialmente, Alex
$f(2)=(2)^3-3(2)=2$
Non è iniettiva ...
D'altra parte la derivata prima è $f'(x)=3x^2-3$ che si annulla in $x=+-1$ (eventuali max/min), la derivata seconda è $f''(x)=6x$, negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$ quindi $x=-1$ è un max locale mentre $x=1$ è un min locale e quindi si conferma non iniettiva ...
Però è suriettiva ... è una cubica ... il dominio è tutto $RR$, è continua in tutto il dominio ed illimitata sia superiormente che inferiormente (i limiti agli "infiniti" sono entrambi infiniti)
Cordialmente, Alex
$ f(a)=f(b) $
$a^3 - 3a = b^3 - 3b $
$ a^3-b^3 -3a+3b=0 $
$ (a-b)(a^2+ab+b^2)-3(a-b)=0 $
$(a-b)(a^2 +ab +b^2-3)=0$
Se l'unica solizione fosse $a=b$ allora la funzione sarebbe iniettiva, ma l'equazione $a^2 +ab +b^2-3=0$ non ha sempre il $Delta<0$, infatti $Delta=12-3b^3=3(4-b^2)$ che è positivo o nullo per $-2<=b<=2$,
quindi per $-2<=b<=2$ si ottiene che $f(a)=f(b)$ sia per $a=b$ ma anche per $a=(-b+-sqrt(3(4-b^2)))/2$ perciò la funzione non può essere iniettiva.
La via indicata da axpgn è più veloce, ma se a scuola hai seguito questa...
$a^3 - 3a = b^3 - 3b $
$ a^3-b^3 -3a+3b=0 $
$ (a-b)(a^2+ab+b^2)-3(a-b)=0 $
$(a-b)(a^2 +ab +b^2-3)=0$
Se l'unica solizione fosse $a=b$ allora la funzione sarebbe iniettiva, ma l'equazione $a^2 +ab +b^2-3=0$ non ha sempre il $Delta<0$, infatti $Delta=12-3b^3=3(4-b^2)$ che è positivo o nullo per $-2<=b<=2$,
quindi per $-2<=b<=2$ si ottiene che $f(a)=f(b)$ sia per $a=b$ ma anche per $a=(-b+-sqrt(3(4-b^2)))/2$ perciò la funzione non può essere iniettiva.
La via indicata da axpgn è più veloce, ma se a scuola hai seguito questa...
ok, forse ho postato nella sezione sbagliata, perchè non è necessario parlare in termini di analisi matematica.
ok. Anche seguendo la definizione di funzione suriettiva.
$f(x) = x^3 - 3x$
dobbiamo verificare che il seguente sia vero:
$\forall x' \in RR, \exists x \in RR | f(x) = x'$
perciò:
$x^3 - 3x = x'$
$x(x^2-3) = x'$
la domanda dovrebbe essere, $x$ appartiene a $RR$ per ogni scelta di $x'$?
sembra di sì, e cmq lo è molto semplicemente perchè è una cubica come mi hai giustamente detto prima.
"axpgn":
Però è suriettiva ... è una cubica ... il dominio è tutto $RR$, è continua in tutto il dominio ed illimitata sia superiormente che inferiormente (i limiti agli "infiniti" sono entrambi infiniti)
ok. Anche seguendo la definizione di funzione suriettiva.
$f(x) = x^3 - 3x$
dobbiamo verificare che il seguente sia vero:
$\forall x' \in RR, \exists x \in RR | f(x) = x'$
perciò:
$x^3 - 3x = x'$
$x(x^2-3) = x'$
la domanda dovrebbe essere, $x$ appartiene a $RR$ per ogni scelta di $x'$?
sembra di sì, e cmq lo è molto semplicemente perchè è una cubica come mi hai giustamente detto prima.
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