Verificare disuguaglianza velocemente

[DanteOlivieri]

Ciao a tutti,

Ho questo esercizio che chiede di dimostrare che la successione

$a_n=(n^2-2)/(n^2+2)$

è monotona crescente. Quindi che

$a_(n+1) >= a_n$

Si ha quindi:

$((n+1)^2-2)/((n+1)^2+2) >= (n^2-2)/(n^2+2)$

Ora, dato che non mi andrebbe di perdere tempo a risolverla durante il compito, mi chiedevo cosa sarebbe bene fare per dimostrarla velocemente.

Grazie in anticipo!

[Noodles1]

Poichè:

$(n^2-2)/(n^2+2)=1-4/(n^2+2)$

puoi concludere anche nel modo sottostante:

$[(n+1)^2+2 gt n^2+2] rarr$

$rarr [1/((n+1)^2+2) lt 1/(n^2+2)] rarr$

$rarr [4/((n+1)^2+2) lt 4/(n^2+2)] rarr$

$rarr [1-4/((n+1)^2+2) gt 1-4/(n^2+2)]$

[DanteOlivieri]

Non ho ben capito come hai fatto a dire che

$(n^2-2)/(n^2+2) = 1- 4/(n^2+2)$

[Noodles1]

$(n^2-2)/(n^2+2)=(n^2+2-4)/(n^2+2)=(n^2+2)/(n^2+2)-4/(n^2+2)=1-4/(n^2+2)$

[DanteOlivieri]

Ahh capisco, per quanto riguarda i passi successivi invece? Sono perso totalmente :/

[Mephlip]

Sono le proprietà elementari delle disequazioni: moltiplicare ambo i membri per un numero positivo non altera il verso e conduce ad una disequazione equivalente, eccetera.

[DanteOlivieri]

Il fatto è che non capisco cosa è stato fatto esattamente

[giammaria2]

La mia risposta è sostanzialmente quella di Noodles, ma espressa con altre parole che forse ti saranno più chiare.
Si ha $a_n=(n^2+2-4)/(n^2+2)=1-4/(n^2+2)$
e quindi $a_(n+1)-a_n=1-4/((n+1)^2+2)-1+4/(n^2+2)=4/(n^2+2)-4/((n+1)^2+2$
La prima frazione ha denominatore minore della seconda, quindi la prima frazione è maggiore della seconds e la loro differenza è positiva.
Ho sfruttato il fatto che nelle frazioni tutto è positivo; in presenza di qualcosa di negativo le cose potrebbero cambiare.

[Noodles1]

Tra l'altro:

$AA n in NN$

$((n+1)^2-2)/((n+1)^2+2) gt (n^2-2)/(n^2+2) rarr$

$rarr (n^2+2n-1)/(n^2+2n+3)-(n^2-2)/(n^2+2) gt 0 rarr$

$rarr (8n+4)/((n^2+2n+3)(n^2+2)) gt 0$

Insomma, se non hai abbastanza dimestichezza (più che lecito alle superiori), concludi più velocemente adottando il metodo "forza bruta".

[DanteOlivieri]

Vi ringrazio

[gugo82]

@ DanteOlivieri: Molto più semplicemente, dalla scomposizione in frazioni parziali:
\[
\frac{n^2 - 2}{n^2 + 2} = 1 - \frac{4}{n^2 + 2}
\]
e dalla monotonia (notissima) delle funzioni elementari sui positivi segue che:
\[
\begin{split}
n< n+1\quad &\Rightarrow \quad n^2 < (n+1)^2\\
&\Rightarrow \quad n^2 + 2 < (n+1)^2 + 2\\
&\Rightarrow \quad \frac{1}{n^2 + 2} > \frac{1}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad \frac{4}{n^2 + 2} > \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad - \frac{4}{n^2 + 2} < - \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad 1 - \frac{4}{n^2 + 2} < 1 - \frac{4}{(n+1)^2 + 2}\\
&\Rightarrow \quad a_n < a_{n+1}\; .
\end{split}
\]
In particolare ho usato i seguenti fatti noti:

[*:27ykq6ec] $x |-> x^2$ è strettamente crescente in $[0,+oo[$

[/*:m:27ykq6ec]
[*:27ykq6ec] $x |-> x + 2$ è strettamente crescente ovunque

[/*:m:27ykq6ec]
[*:27ykq6ec] $x |-> 1/x$ è strettamente decrescente in $]0,+oo[$

[/*:m:27ykq6ec]
[*:27ykq6ec] $x |-> 4x$ è strettamente crescente ovunque

[/*:m:27ykq6ec]
[*:27ykq6ec] $x |-> - x$ è strettamente decrescente ovunque

[/*:m:27ykq6ec]
[*:27ykq6ec] $x |-> 1 + x$ è strettamente crescente ovunque.[/*:m:27ykq6ec][/list:u:27ykq6ec]

Inoltre, ho ricordato che, componendo a primo e secondo membro di una disuguaglianza una funzione strettamente crescente [risp. decrescente] il verso non cambia [risp. il verso si inverte]... Questa, in soldoni, è proprio la definizione di monotonia.