Verifica molto strana di limiti

[Lucrezio1]

Salve! Ho questo limite
$lim_(x->3) ln(x-2)=0$, devo verificarlo, quindi $|ln(x-2)| 2+e^(-epsilon) < x < 2+e^epsilon$, che non è un intorno di 3... cos'ho sbagliato?:(

[jellybean22]

Nulla! Quel che hai scritto è un intorno di 3!

[Lucrezio1]

Ah xD e perché? o.o

[@melia]

Scherzava, non è un intorno di 3, come potrebbe esserlo, $3-2 !=0$, non hai ottenuto un intorno di 3, ma uno di 2, significa che quel limite non è verificato in 3, ma in 2.
In pratica hai dimostrato che tutte e sole le $ x_0$ per cui $lim_(x->x_0) (x-2)=0$, sono contenute in intorni di 2, perciò è verificato che $lim_(x->2) (x-2)=0$

[Lucrezio1]

ma il limite era del logaritmo di x-2... in teoria calcolando il limite esce giusto!

[@melia]

"Lucrezio":ma il limite era del logaritmo di x-2... in teoria calcolando il limite esce giusto!

non avevo visto il logaritmo, e neanche la $e$, mi sa che devo cambiare occhiali.
In questo caso è proprio un intorno di 3, non stava scherzando, perché per $epsilon ->0^+$ hai che $e^epsilon -> 1^+$, mentre $e^(-epsilon) -> 1^-$.

[jellybean22]

Ahahahahah, no no, non scherzavo

[Lucrezio1]

Ok perfetto! Ho capito:D
Adesso ho questo: $lim_(x->1^-) log_2 (1-x)=-oo$, allora faccio la disequazione f(x)<-M e mi esce $S = (-2^(-M)+1, +oo)$, ma io devo avere un intorno sinistro di 1. quindi posso considerare $(-2^(-M)+1, 1)$ come l'intorno che verifica il limite?

[@melia]

Stavolta l'errore c'è perché, risolvendo la disequazione, non hai considerato la condizione di esistenza del logaritmo che è $x<1$ e va messa a sistema con la soluzione che hai ottenuto

[Lucrezio1]

Cavolo, è vero!!! Grazie:)

[Lucrezio1]

Se io invece avessi $lim_(x->3^-) (x^2-x-6)/(x-3) = 5$, io lo verifico e mi viene fuori che $3-epsilon < x < 3+ epsilon$... ovvero un intorno circolare di 3, ma a me serve uno sinistro. Posso scrivere: "in particolare, considero l'intorno sinistro (3-epsilon, 3) per il quale il limite è verificato?" Cioè in generale posso prendere un intorno che voglio dalla soluzione della disequazione con la epsilon? (o con M a seconda dei casi)

[chiaraotta1]

Non è che il limite sia verificato per "l'intorno sinistro $(3-epsilon, 3)$". E' che, per le $x$ di un intorno sinistro di $3$, doveva essere vera una certa disuguaglianza. Questo effettivamente succede e quindi quel limite è dimostrato.
La definizione di limite richiede che una certa disuguaglianza sia vera in un certo intorno, ma non richiede che sia vera SOLO lì ...

[Lucrezio1]

Ok, ho capito, grazie:)
Adesso ho questo limite, effettivamente un po' pesantuccio: $lim_(x-> +oo)2^(1/(x-1))=1$... la disequazione che dev'essere verificata in un intorno di + infinito è $1-epsilon < 2^(1/(x-1))<1+epsilon -> {(log2^(1/(x-1)) log(1-epsilon)):}$ Ponendo $a=log(1+epsilon)/log2$ e $b=log(1-epsilon)/log2$, risulta ahimè ${((1-ax+a)/(x-1)<0),((1-bx+b)/(x-1)>0):} -> {(x<1 vv x>(1+a)/a),((1+b)/b

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[Lucrezio1]

Piccolissima domanda: se io in una disequazione ho $x(epsilon-6)>epsilon-3$, risulta $x<(epsilon-3)/(epsilon-6)$ no? Perché epsilon-6 è negativo in quanto epsilon sarà sicuramente minore di 6. E' giusto come ragionamento?

[giammaria2]

L'ultimo ragionamento è giusto. Nell'esercizio precedente non hai tenuto conto del fatto che $b$ è negativo perché a numeratore c'è il logaritmo di un numero minore di 1. Ricorda anche che sia $a$ che $b$ hanno valori prossimi allo zero.

[chiaraotta1]

Poiché si studia il limite per $x->+oo$, è sufficiente limitarsi a discutere quello che succede per $x>1$.
Per questi valori di $x$ si ha che $x-1$ è $>0$, $2^(1/(x-1))>1$ e quindi $2^(1/(x-1))-1>0$.
Perciò la disequazione da risolvere
$|2^(1/(x-1))-1| si può scrivere come
$2^(1/(x-1))-1 $2^(1/(x-1))<1+epsilon$
$1/(x-1)ln2 $x-1>(ln2)/ln(1+epsilon)$ (moltiplicando per $x-1$ e dividendo per $ln(1+epsilon)$ che sono $>0$)
$x>1+(ln2)/ln(1+epsilon)$
che è un intorno di $+oo$.

[Lucrezio1]

No ma perché chiaraotta ha eliminato il caso $2^(1/(x-1))>1-epsilon$??

[chiaraotta1]

Se $2^(1/(x-1))-1$ è $>0$, allora è anche certamente $> -epsilon$, che è un numero $<0$.