Verifica limiti tramite definizione

[Darèios89]

Stavo facendo degli esercizi sulle funzioni a una variabile, e mi stavo esercitando sulla verifica di limiti tramite definizione, alcuni li ho saputi fare, ma quando incappo in quelle fratte mi confondo e volevo sapere come si svolgono:

Il primo limite è per x-->2, l'altro per x--> 5

1) [tex]lim_{}\frac{3}{x+1}=1[/tex]

2) [tex]lim_{}\frac{3x}{x-2}=5[/tex]

Scusate ma non riesco ad usare i tag, come si fa per far vedere direttamente l'immagine da Latex?
So che il regolamento chiede di provare a proporre una propria soluzione, ma semplicemente non so come arrivarci, la definizione la so ma non so procurarmi gli intorni.
Potreste farmi vedere i calcoli?

Vi ringrazio.

[G.D.5]

Metti

[tex]

all'inizio della formula e

[/tex]

alla fine, poi fai "Anteprima".
Aggiusta e poi ne riparliamo.

[Darèios89]

Sistemato, scusate ma non avevo ben capito come si inserivano.
Credo debba risolvere dei sistemi, prendendo il primo limite ho provato a svolgerlo, ma non arrivo ad un intorno, potreste farmi vedere come risolvere i sistemi?

[Nicole931]

ti do qualche indicazione per quanto riguarda il primo limite, poi prova a risolvere da solo il secondo
dalla definizione hai :
$|3/(x+1)-1| questa disequazione si spezza nel sistema :

$\{((2-x)/(x+1) -epsilon):}$
a questo punto però mi fermo poichè mi sono accorta che ho risposto alla stessa domanda su yahoo answers; sei per caso la stessa persona?

[Darèios89]

Ciao,
Si sarei io...
Scusa se ho postato un pò da tutte le parti, ma il mio problema era impostare il sistema, avevo dubbi su come risolverlo con il m.c.m, e siccome mi sto esercitando su questo genere di esercizi avevo bisogno di un modello da seguire, perchè altrimenti non avrei potuto fare gli altri, infatti sono rimasto fermo perchè a parte le funzioni intere quelle fratte mi davano problemi.
A questo punto mi scuso per averti fatto fare ripetere le cose, chiedo un ultimo aiuto, se me lo concedete, già ti ho fatto richieste tramite yahoo, scegli tu dove rispondere.
Nell'altro limite che avevo postato su yahoo:

[tex]lim_{x->5}\frac{3x}{x-2}=5[/tex]

Ho fatto il sistema: ti posto i calcoli così mi dici dove sbaglio, tolgo direttamente il denominatore, avrei:


[tex]\begin{Bmatrix}
3x-5x+10
3x-5x+10>-ex+2e\end{Bmatrix}[/tex]

Poi salto un passaggio dove sommo i termini che hanno la x e sono simili e preparo il terreno per mettere a fattor comune come mi hai spiegato:



[tex]\begin{Bmatrix}
-2x-ex<-10-2e\\

-2x+ex>-10+2e\end{Bmatrix}[/tex]

[tex]\begin{Bmatrix}
x(-2-e)<-10-2e\\

x(-2+e)>-10+2e\end{Bmatrix}[/tex]

Cambio di segno perchè la x è negativa e ottengo:

[tex]\begin{Bmatrix}
x(2+e)>10+2e\\

x(2-e)<10-2e\end{Bmatrix}[/tex]

Ma a questo punto mi vengono dei valori che sono:

x>(10+2e)/(2+e
x<(10-2e/(2-e)

A meno che non sbaglio a metterli a sistema, l'intersezione mi viene vuota, dove sbaglio?

Scusa se ho postato in due posti diversi, ma volevo entro domani alzarmi e avere le idee più chiare per continuare ad esercitarmi.

[franced]

Vediamo il limite [tex]\lim_{x \rightarrow 5} \dfrac{3x}{x-2} = 5[/tex] :

[tex]\left| \dfrac{3x}{x-2} - 5 \right| < \varepsilon[/tex]

[tex]\left| \dfrac{3x - 5(x-2)}{x-2} \right| < \varepsilon[/tex]

[tex]\left| \dfrac{-2x + 10}{x-2} \right| < \varepsilon[/tex]

[tex]\left| \dfrac{x - 5}{x-2} \right| < \dfrac{\varepsilon }{2}[/tex]

ora continua da solo..

[Darèios89]

Ah, forse ci sono riuscito, almeno spero:

Studio il sistema:

[tex]\begin{Bmatrix}
x-5<\frac{e}{2}\\

x-5>-\frac{e}{2}\end{Bmatrix}[/tex]

[tex]\begin{Bmatrix}
x<5+\frac{e}{2}\\

x>5-\frac{e}{2}\end{Bmatrix}[/tex]

Facendo l'intersezione otterei un intorno di 5, cioè [tex]]5-\frac{e}{2},5+\frac{e}{2}[[/tex]

Solo che avrei un dubbio su un tuo calcolo:

[tex]\left | \frac{2x-10}{x-2} \right |
Dopo immagino avrai diviso per 2 ottenendo:

[tex]\left | \frac{2x-10}{x-2}*\frac{1}{2} \right |<\frac{e}{2}*\frac{1}{2}[/tex]

Da cui poi:

[tex]\left | \frac{2x-10}{2x-4} \right |<\frac{e}{2}[/tex]

E semplifici numeratore e denominatore giusto?

Il tuo metodo è stato più rapido, grazie mille...

P.S. Ho dato un'occhiata al tuo sito, interessantissimo!