Verifica limite tramite definizione

[Rayo]

Ragazzi mi spiegate l'opportuno svolgimento di questo esercizio con anche il disegno del grafico?

Limite tendente a + infinito di 3-x/2x=-1/2

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Vogliamo verificare che:

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - x}{2x} = - \frac{1}{2} \end{aligned}\\[/math]

.
Graficando tale funzione si nota questo(click).

Per

[math]\forall\,I\left(-\frac{1}{2}\right)[/math]

fissato un

[math]\epsilon > 0[/math]

arbitr. piccolo,

[math]\exists\, I(+\infty)[/math]

tale che per

[math]\forall\,x \in I(+\infty)\\[/math]

segue:

[math]\left|\frac{3-x}{2x} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right| < \epsilon\\[/math]

;

[math]\left|\frac{3}{2x}\right| < \epsilon\\[/math]

;
considerando che siamo interessati a

[math]I\left(+\infty\right)\\[/math]

:

[math]+\frac{3}{2x} < \epsilon\\[/math]

;

[math]\frac{3 \, - \, 2\,\epsilon\,x}{2x} < 0\\[/math]

;

[math]x < 0 \, \vee \, x > \frac{3}{2\epsilon}\\[/math]

.
Si trova così un intorno di

[math]+\infty[/math]

:

[math]x > \frac{3}{2\epsilon}[/math]

. :)