Verifica limite applicando la definizione

[Luka1996]

buongiorno
ho un problema con questa tipologia di limite

\(\lim \)\(x\to2 \)$(x+1)/(x-2)$=+\(\infty\)
da destra

pongo f(x)>k
risolvo ma non trovo l'intorno destro di 2.
sicuramente sbaglio qualcosa o sui calcoli o sul ragionamento
Potete aiutarmi a capire?
Grazie

[minomic]

Ciao, il limite dovrebbe essere questo
\[
\lim_{x\to 2^+}{\frac{x+1}{x-2}} = +\infty
\]
Allora vogliamo dimostrare che
\[
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : x\in I^+\left(2, \delta\right) \Rightarrow f(x) > \frac{1}{\varepsilon}
\]
Questa scrittura significa che vogliamo dimostrare che se io scelgo una $x$ in un intorno destro di $2$ allora ottengo una $f(x)$ molto grande, in particolare più grande di \(\frac{1}{\varepsilon}\). Risolviamo quindi
\[
\frac{x+1}{x-2} > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad \frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{\varepsilon} > 0
\]
\[
\frac{\varepsilon x + \varepsilon - x + 2}{\cancel{\varepsilon}\left(x-2\right)} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\left(\varepsilon-1\right)x + \varepsilon + 2}{x-2} > 0
\]
Il numeratore è positivo per
\[
\left(\varepsilon-1\right)x + \varepsilon + 2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \left(\varepsilon-1\right)x > -\varepsilon-2 \quad\Rightarrow\quad x < \frac{-\varepsilon-2}{\varepsilon-1}
\]
dove ho invertito il verso della disequazione perché sicuramente \(\varepsilon-1 < 0\). Invece il denominatore è positivo per \(x > 2\). A questo punto possiamo notare che
\[
\frac{-\varepsilon-2}{\varepsilon-1} = \frac{2\varepsilon-2-3\varepsilon}{\varepsilon-1} = 2-\frac{3\varepsilon}{\varepsilon-1} > 2
\]
Facendo il grafico dei segni, trovi che la soluzione della disequazione è effettivamente un intorno destro di $2$, quindi il limite è verificato.

Ciao.

[Luka1996]

Credo di avere capito il mio errore! Grazie. Io non cambiavo il verso alla disequazione del numeratore.