Verifica limite

[oleg.fresi]

Ho quest'altro limite da verificare: $lim_(x->1)(sqrt(x^2+1))=sqrt(2)$
Procedo così: $|sqrt(x^2+1)-sqrt(2)| Poi ottengo il sistema: $\{ (sqrt(x^2+1)sqrt(2)-epsilon) :}$
Il fatto è che da qui non sò come continuare, perchè mi uscirebbero radici su radici, sicuramente ci sarà un escamotage da usare.
Potreste aiutarmi per favore?

[gugo82]

No, nessun trucco.
Devi farti i conti, per quanto brutti sembrino.

P.S.: Ricorda che una disequazione irrazionale del tipo $sqrt(x^2 + 1) > sqrt(2) - epsilon$ ha tutte le soluzioni del mondo se $sqrt(2)-epsilon <0$, ma ha "meno" soluzioni quando $sqrt(2) - epsilon >= 0$...
Morale della favola: non elevare al quadrato come viene, ma ragiona!

[oleg.fresi]

Ok, ho capito, grazie per il suggerimento!

[giammaria2]

gugo82, mi permetti di dissentire? Poiché $epsilon$ è "piccolo a piacere", posso prenderlo in modo che sia $0

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[gugo82]

Se la memoria non mi inganna, la definizione di limite inizia con \(\forall \varepsilon > 0\)... Di "piccolo a piacere" non c'è traccia.

[axpgn]

Si vede che non hai fatto le superiori "... anni fa"

Comunque basta prendere il $delta$ che "salta fuori" dallo $0

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Sul mio testo universitario (di F. Tricomi) il "piccolo a piacere" c'è, ma effettivamente non lo ritrovo nei siti in cui ho curiosato. Direi che si tratta di una precisazione non necessaria, ma in casi come questo è utile perché abbrevia i calcoli.

[gugo82]

In realtà, so bene che le cose vanno come dice giammaria (e non è una novità, vista l’idea dietro la definizione) e la motivazione è proprio quella addotta da axpgn.

Tuttavia, trovo sia inutile proporre inizialmente queste “scorciatoie” ad uno studente, perché esse fanno apparire inutili le definizioni e fanno credere che la teoria non abbia nulla a che fare con la pratica (perché possono essere agitate con trucchi di non si sa bene quale provenienza...).
Una volta che uno si è fatto un po’ le ossa coi conti (che vanno fatti, perché altrimenti si perde il coraggio di affrontare di petto alcune questioni molto importanti), poi uno può anche cercare di capire come e con quali mezzi leciti dribblare le difficoltà.

[giammaria2]

Concordo, ed il problema sta proprio nelle definizioni: con quella che conosci tu occorrono tutti i calcoli, mentre con quella di Tricomi (e non solo sua, stando a quanto scrive axpgn) la scorciatoia diventa perfettamente lecita.