Verifica limite

[oleg.fresi]

Ho questo limite da verificare: $lim_(x->0)(e^-x)=1$
Ho proceduto in questo modo: $abs(e^-x-1) Poi ho tolto il modulo e sono passato ai reciproci: $1/(1-epsilon) E infine ho ricavato x: $ln(1/(1-epsilon)) E infine chimato $delta=ln(1/(1+epsilon))$ ottengo: $abs(x-0) Il problema è che non capisco come vedere se l'ho risolto correttamente.
Potreste speigarmi come vedere se la verifica risulta corretta o no? Grazie in anticipo.

[giammaria2]

Hai sbagliato perché quando si passa ai reciproci il verso della disequazioni cambia. Non volendo usare questa regola (che non mi piace perché può diventare falsa se ci sono problemi di segno ed anche perché in matematica ci sono già $$fin troppe formule a memoria), puoi procedere così: partendo da $abs(e^-x-1)
$1-epsilonln(1-epsilon)<-x -ln(1-epsilon)>x> -ln(1+epsilon)$

Basta ora considerare il segno dei vari membri per dire che la diseguaglianza è vera in un intorno completo dello zero.
Se vogliamo anche sapere il valore di $delta$, dobbiamo chiederci quale dei due logaritmi è minore in valore assoluto. Si ha

$|ln(1-epsilon)|=|-ln(1-epsilon)|=|ln(1/(1-epsilon))|>|ln((1-epsilon^2)/(1-epsilon))|=|ln(1+epsilon)|$

e quindi $delta=|ln(1+epsilon)|=ln(1+epsilon)$

[oleg.fresi]

Ma comunque da qui: $-ln(1-epsilon)>x>-ln(1+epsilon)$ l'esercizio può considerarsi concluso?
Non ho capito questi passaggi: $|ln(1-epsilon)|=|-ln(1-epsilon)|=|ln(1/(1-epsilon))|>|ln((1-epsilon^2)/(1-epsilon))|=|ln(1+epsilon)|$
Avrei anche un altro dubbio a riguardo: come si fà a stabilire che una certa quantità(perchè qui abbiamo come variabili x e $epsilon$) rientra nell'intorno di un numero( che se non sbaglio è da considerare il punto di accumulazione del limite)

[giammaria2]

"olegfresi":Ma comunque da qui: $-ln(1-epsilon)>x> -ln(1+epsilon)$ l'esercizio può considerarsi concluso?

Sì, a condizione che si sia fatto il seguente ragionamento (anche senza scriverlo): anche se le diseguaglianze valgono di poco ed i numeri sono quasi uguali, si ha
$1-epsilon<1-> ln(1-epsilon)<0-> -ln(1-epsilon)>0$
ed analogamente si sia dimostrato che $-ln(1+epsilon)<0$: ne consegue che $x$ è compreso fra due numeri prossimi allo zero, uno negativo e l'altro positivo.

Non ho capito questi passaggi: $|ln(1-epsilon)|=|-ln(1-epsilon)|=|ln(1/(1-epsilon))|>|ln((1-epsilon^2)/(1-epsilon))|=|ln(1+epsilon)|$

$ln(1-epsilon)$ è negativo, quindi l'ho cambiato di segno (primo passaggio); nel secondo passaggio ho applicato una proprietà dei logaritmi, in modo che scomparisse il segno meno; nel terzo passaggio, volendo arrivare a $1+epsilon$, ho usato il fatto che $1>1-epsilon^2$; nell'ultimo ho semplificato la frazione.

Avrei anche un altro dubbio a riguardo: come si fà a stabilire che una certa quantità(perchè qui abbiamo come variabili x e $epsilon$) rientra nell'intorno di un numero( che se non sbaglio è da considerare il punto di accumulazione del limite)

Un metodo non molto rigoroso ma molto comodo è dare ad $epsilon$ un valore piccolo rispetto agli altri numeri dell'esercizio (qui va bene $epsilon=0,1$ ed anche meglio $epsilon=0,01$); poi fai i calcoli e vedi cosa succede.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille giammaria!