Verifica limite

[gardn]

Dovrei verificare che $lim_(x to +oo)3^(1/x)=1$
Quindi devo risolvere $|f(x)-l|< epsilon$ cioè $|3^(1/x)-1|N$ con N dipendente da epsilon e grande a piacere. Ma risolvendo la disequazione mi trovo
$(log 3)/(log(1- epsilon))

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Risposte

rino6999

8 dic 2013, 13:01

visto che x tende a $+infty$,basta risolvere $3^(1/x)-1< epsilon$
$3^(1/x) $1/x $x>1/(log_3(epsilon+1)$

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gardn

8 dic 2013, 14:23

Scusa non è $+oo$ ma $oo$ senza segno

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rino6999

8 dic 2013, 14:27

allora $+infty$ lo abbiamo sistemato
per x che tende a $-infty$ basta risolvere
$1-3^{1/x} provaci....

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gardn

8 dic 2013, 14:38

"raf85":allora $+infty$ lo abbiamo sistemato
per x che tende a $-infty$ basta risolvere
$1-3^{1/x} provaci....

Sì già avevo provato a risolvere entrambe, qua viene:
$1/x>log_(3)(1- epsilon)$
E a questo punto non dovrei portare tutto a primo membro e controllare il segno di numeratore e denominatore? Oppure visto che x tende a $-oo$ posso contarlo come negativo e quindi fare
$x<1/(log_(3)(1-epsilon))$ ?

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rino6999

8 dic 2013, 14:57

il risultato che hai scritto è giusto

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gardn

8 dic 2013, 15:32

"raf85":il risultato che hai scritto è giusto

Non ho capito una cosa però, in teoria $|f(x)-l|

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rino6999

8 dic 2013, 16:01

hai frainteso il mio ragionamento
siccome per x>0 si ha $3^(1/x)>1$ ,ho tolto l'ingombro del valore assoluto

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gardn

9 dic 2013, 18:40

"raf85":hai frainteso il mio ragionamento
siccome per x>0 si ha $3^(1/x)>1$ ,ho tolto l'ingombro del valore assoluto

Sì e hai detto che x>0 perché $x to +oo$ ma non dovrebbe essere la tesi questa? Cioè partendo da $|f(x)-l|

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@melia

9 dic 2013, 19:00

Hai ragione, raf85 ha implicitamente detto: verifico la soluzione solo per $x>0$, potrebbero esserci anche soluzioni per $x<0$, ma sono trascurabili per la tesi che intendo verificare.

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gardn

9 dic 2013, 20:03

"@melia":Hai ragione, raf85 ha implicitamente detto: verifico la soluzione solo per $x>0$, potrebbero esserci anche soluzioni per $x<0$, ma sono trascurabili per la tesi che intendo verificare.

Ah ecco, quindi poiché qui l'infinito è senza segno controllo sia x>0 sia x<0, giusto?

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@melia

10 dic 2013, 17:35

Certamente, sì.

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gardn

11 dic 2013, 00:04

Grazie mille a entrambi .
Quindi riassumendo: ho $lim_(x to oo)3^(1/x)=1$ , per verificarlo scrivo che $|3^(1/x)-1|N $e$ xN deduco che x tende a $+oo$ e per x Quindi pongo prima x>0, perché per dimostrare che $x to +oo$ non mi interessano le soluzioni <0. Quindi risolvendo la disequazione ho
$x>1/(log(1+epsilon))$ ed è quindi dimostrato che $x to +oo$. Poi faccio lo stesso per $-oo$.
Se è tutto giusto potete anche chiudere, grazie ancora

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burm87

11 dic 2013, 17:18

Non ho seguito il resto della discussione, ma io nel caso in $x->-oo$ ero abituato a scrivere $x<-M$.

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[rino6999]

visto che x tende a $+infty$,basta risolvere $3^(1/x)-1< epsilon$
$3^(1/x) $1/x $x>1/(log_3(epsilon+1)$

[gardn]

Scusa non è $+oo$ ma $oo$ senza segno

[rino6999]

allora $+infty$ lo abbiamo sistemato
per x che tende a $-infty$ basta risolvere
$1-3^{1/x} provaci....

[gardn]

"raf85":allora $+infty$ lo abbiamo sistemato
per x che tende a $-infty$ basta risolvere
$1-3^{1/x} provaci....

Sì già avevo provato a risolvere entrambe, qua viene:
$1/x>log_(3)(1- epsilon)$
E a questo punto non dovrei portare tutto a primo membro e controllare il segno di numeratore e denominatore? Oppure visto che x tende a $-oo$ posso contarlo come negativo e quindi fare
$x<1/(log_(3)(1-epsilon))$ ?

[rino6999]

il risultato che hai scritto è giusto

[gardn]

"raf85":il risultato che hai scritto è giusto

Non ho capito una cosa però, in teoria $|f(x)-l|

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[rino6999]

hai frainteso il mio ragionamento
siccome per x>0 si ha $3^(1/x)>1$ ,ho tolto l'ingombro del valore assoluto

[gardn]

"raf85":hai frainteso il mio ragionamento
siccome per x>0 si ha $3^(1/x)>1$ ,ho tolto l'ingombro del valore assoluto

Sì e hai detto che x>0 perché $x to +oo$ ma non dovrebbe essere la tesi questa? Cioè partendo da $|f(x)-l|

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[@melia]

Hai ragione, raf85 ha implicitamente detto: verifico la soluzione solo per $x>0$, potrebbero esserci anche soluzioni per $x<0$, ma sono trascurabili per la tesi che intendo verificare.

[gardn]

"@melia":Hai ragione, raf85 ha implicitamente detto: verifico la soluzione solo per $x>0$, potrebbero esserci anche soluzioni per $x<0$, ma sono trascurabili per la tesi che intendo verificare.

Ah ecco, quindi poiché qui l'infinito è senza segno controllo sia x>0 sia x<0, giusto?

[@melia]

Certamente, sì.

[gardn]

Grazie mille a entrambi .
Quindi riassumendo: ho $lim_(x to oo)3^(1/x)=1$ , per verificarlo scrivo che $|3^(1/x)-1|N $e$ xN deduco che x tende a $+oo$ e per x Quindi pongo prima x>0, perché per dimostrare che $x to +oo$ non mi interessano le soluzioni <0. Quindi risolvendo la disequazione ho
$x>1/(log(1+epsilon))$ ed è quindi dimostrato che $x to +oo$. Poi faccio lo stesso per $-oo$.
Se è tutto giusto potete anche chiudere, grazie ancora

[burm87]

Non ho seguito il resto della discussione, ma io nel caso in $x->-oo$ ero abituato a scrivere $x<-M$.