Verifica in classe - III Liceo Scientifico
Voglio condividere con voi un problema di geometria analitica presente in una prova di matematica data in classe qualche giorno fa.
Nel I quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l'arco di circonferenza di centro O e di estremi A(3,0) e B(0,3) e l'arco L della parabola di equazione $x^2=9-6y$ i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2). Sia r la retta tangente in A a L.
a) Si calcoli l'area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione racchiusa tra L e l'aro AB.
b) Si provi che l'arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all'arco AB e all'asse x.
c) Tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all'arco di circonferenza di centro A e raggio 3.
Sono riuscito a risolvere il punto a) ma, sia per mancanza di tempo (ovviamente c'erano altri esercizi "simpatici"), sia perché non capivo, non ho risolto i punti b) e c).
Mi aiutate a capire meglio? Come avrei dovuto procedere tenendo conto che non abbiamo mai studiato i fasci?
Grazie
Raffaele
Nel I quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l'arco di circonferenza di centro O e di estremi A(3,0) e B(0,3) e l'arco L della parabola di equazione $x^2=9-6y$ i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2). Sia r la retta tangente in A a L.
a) Si calcoli l'area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione racchiusa tra L e l'aro AB.
b) Si provi che l'arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all'arco AB e all'asse x.
c) Tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all'arco di circonferenza di centro A e raggio 3.
Sono riuscito a risolvere il punto a) ma, sia per mancanza di tempo (ovviamente c'erano altri esercizi "simpatici"), sia perché non capivo, non ho risolto i punti b) e c).
Mi aiutate a capire meglio? Come avrei dovuto procedere tenendo conto che non abbiamo mai studiato i fasci?
Grazie
Raffaele
Risposte
$b)$Considera il tuo arco di circonferenza e il tuo arco di parabola.
Adesso prendi un punto $P$ sull'arco di parabola, esso avrà coordinate $(X,-X^2/6 +3/2)$
Adesso, affinchè le circonferenze che abbiano centro nell'arco di parabola siano tangenti sia alla circonferenza, sia all'asse $x$, si deve verificare che le distanze di questo punto da noi adesso considerato dall'asse $x$ e dalla circonferenza siano uguali.
La distanza di quel punto dall'asse $x$ è uguale alla sua ordinata $y$, dunque distanza dall'asse $x$ = $-X^2/6 +3/2$
Adesso dal centro dell'origine degli assi, che è anche il centro della tua circonferenza, traccia il raggio della circonferenza passante per il punto $P$.
Chiamato $O$ il centro dell'origine degli assi, e chiamato $P'$ la proiezione di $P$ sull'asse $x$, ti si viene a formare un triangolo rettangolo $OPP'$, la distanza del punto $P$ dalla circonferenza non è altro che la sottrazione tra il raggio della circonferenza e l'ipotenusa $OP$ di quel triangolo, che si può facilmente trovare con Pitagora. Non ho verificato i conti, li lascio a te.
$c)$ Se tu disegni la circonferenza di centro $A$ e raggio $3$, hai che per simmetria si interseca con la circonferenza di centro $O$ nel punto di ascissa $x=3/2$. Sempre per simmetria l'unico punto in cui una circonferenza con centro nella parabola risulta tangente a entrambe le circonferenze di centro $A$ e $O$ deve avere ascissa pari a $3/2$, l'ordinata e il raggio vengono da se, ciao.
Adesso prendi un punto $P$ sull'arco di parabola, esso avrà coordinate $(X,-X^2/6 +3/2)$
Adesso, affinchè le circonferenze che abbiano centro nell'arco di parabola siano tangenti sia alla circonferenza, sia all'asse $x$, si deve verificare che le distanze di questo punto da noi adesso considerato dall'asse $x$ e dalla circonferenza siano uguali.
La distanza di quel punto dall'asse $x$ è uguale alla sua ordinata $y$, dunque distanza dall'asse $x$ = $-X^2/6 +3/2$
Adesso dal centro dell'origine degli assi, che è anche il centro della tua circonferenza, traccia il raggio della circonferenza passante per il punto $P$.
Chiamato $O$ il centro dell'origine degli assi, e chiamato $P'$ la proiezione di $P$ sull'asse $x$, ti si viene a formare un triangolo rettangolo $OPP'$, la distanza del punto $P$ dalla circonferenza non è altro che la sottrazione tra il raggio della circonferenza e l'ipotenusa $OP$ di quel triangolo, che si può facilmente trovare con Pitagora. Non ho verificato i conti, li lascio a te.
$c)$ Se tu disegni la circonferenza di centro $A$ e raggio $3$, hai che per simmetria si interseca con la circonferenza di centro $O$ nel punto di ascissa $x=3/2$. Sempre per simmetria l'unico punto in cui una circonferenza con centro nella parabola risulta tangente a entrambe le circonferenze di centro $A$ e $O$ deve avere ascissa pari a $3/2$, l'ordinata e il raggio vengono da se, ciao.
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