Verifica di un limite finito per x tendente al finito tramite definizione
Buonasera a tutti !
Spulciando su vecchi quaderni mi sono imbattuto in un esercizio sulla verifica di un limite tramite definizione e mi sono sorti diversi dubbi al riguardo. Il limite è il seguente: $lim_(x -> 1) (1/x+x-3)=-1$ (tratto dal Bergamini Blu, per completezza). Procedendo con la definizione vado a porre: $|1/x+x-3+1|<\epsilon$ e, risolvendo il sistema equivalente ${ ( 1/x+x-2<\epsilon ),( 1/x+x-2>\-epsilon ):}$, ottengo come risultato della prima disequazione $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/21+(\-epsilon+sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2$. Nel calcolo ho trascurato lo studio del denominatore perché sto cercando un intorno di 1 e, di conseguenza, x>0.
Ora, la prima domanda è questa: nella seconda soluzione ho delle limitazioni sulla $\epsilon$ che deve essere $\epsilon<0$ (non accettabile per le ipotesi su $\epsilon>0$) $vv$ $\epsilon>4$. E dunque come comportarmi ? Non posso avere limitazioni sulla $\epsilon$ o sbaglio ? E comunque non limitazioni "inferiori". Devo poter scegliere la $\epsilon$ piccola quanto voglio, non da 4 in su.
Seconda domanda: mi sembra che, tra i quattro estremi trovati, $1+(\epsilon+sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2$ e $1+(\-epsilon-sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2$ siano rispettivamente il più grande ed il più piccolo tra i valori (ma non sono affatto sicuro di ciò, anzi, probabilmente sto sbagliando sul valore più piccolo), ma qual è il metodo più rapido per posizionare correttamente i restanti due valori sull'asse dei reali ? Un modo potrebbe essere quello di risolvere, ad esempio, la disequazione $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2>1+(\-epsilon+sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2$ e vedere se si arriva a qualcosa di vero o falso. O, ancora, sostituire due epsilon "a caso" sulla calcolatrice e verificare i valori trovati. Ma esiste un metodo più semplice, immediato, rapido e "matematico"
?
Terza domanda: come posso proseguire ?
Mi scuso se mi sono dilungato eccessivamente e ringrazio, sin da ora, quanti sapranno rispondermi.
E, come sempre, grazie a tutti !
Saluti
BayMax
Edit:
Buongiorno a tutti !
Proprio ora mi è venuto in mente un modo di procedere, ma non so se sia lecito. Lo espongo di seguito.
Risolta la prima disequazione con risultato $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2\-epsilonx$ avendo moltiplicato per il denominatore in quanto voglio arrivare ad un intorno di 1 e, di conseguenza, posso supporre $x>0$. A questo punto si ha $(x-1)^2>\-epsilonx$ che risulta vera $AA x in R-{1}$ essendo il primo membro sempre positivo ed il secondo sempre negativo (poiché $\epsilon>0$ per ipotesi e $x>0$ in un intorno di 1, col segno $-$ davanti il loro prodotto risulta $<0$). Di conseguenza il risultato dell'intero sistema risulta il risultato della prima disequazione $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2
Quarta domanda: è corretto quest'ultimo modo di procedere ?
Le domande precedenti restano valide e le loro eventuali risposte saranno molto gradite
.
E, come sempre, grazie a tutti !
Saluti
BayMax
Spulciando su vecchi quaderni mi sono imbattuto in un esercizio sulla verifica di un limite tramite definizione e mi sono sorti diversi dubbi al riguardo. Il limite è il seguente: $lim_(x -> 1) (1/x+x-3)=-1$ (tratto dal Bergamini Blu, per completezza). Procedendo con la definizione vado a porre: $|1/x+x-3+1|<\epsilon$ e, risolvendo il sistema equivalente ${ ( 1/x+x-2<\epsilon ),( 1/x+x-2>\-epsilon ):}$, ottengo come risultato della prima disequazione $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2
Ora, la prima domanda è questa: nella seconda soluzione ho delle limitazioni sulla $\epsilon$ che deve essere $\epsilon<0$ (non accettabile per le ipotesi su $\epsilon>0$) $vv$ $\epsilon>4$. E dunque come comportarmi ? Non posso avere limitazioni sulla $\epsilon$ o sbaglio ? E comunque non limitazioni "inferiori". Devo poter scegliere la $\epsilon$ piccola quanto voglio, non da 4 in su.
Seconda domanda: mi sembra che, tra i quattro estremi trovati, $1+(\epsilon+sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2$ e $1+(\-epsilon-sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2$ siano rispettivamente il più grande ed il più piccolo tra i valori (ma non sono affatto sicuro di ciò, anzi, probabilmente sto sbagliando sul valore più piccolo), ma qual è il metodo più rapido per posizionare correttamente i restanti due valori sull'asse dei reali ? Un modo potrebbe essere quello di risolvere, ad esempio, la disequazione $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2>1+(\-epsilon+sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2$ e vedere se si arriva a qualcosa di vero o falso. O, ancora, sostituire due epsilon "a caso" sulla calcolatrice e verificare i valori trovati. Ma esiste un metodo più semplice, immediato, rapido e "matematico"
?Terza domanda: come posso proseguire ?
Mi scuso se mi sono dilungato eccessivamente e ringrazio, sin da ora, quanti sapranno rispondermi.
E, come sempre, grazie a tutti !
Saluti
BayMax
Edit:
Buongiorno a tutti !
Proprio ora mi è venuto in mente un modo di procedere, ma non so se sia lecito. Lo espongo di seguito.
Risolta la prima disequazione con risultato $1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2
Quarta domanda: è corretto quest'ultimo modo di procedere ?
Le domande precedenti restano valide e le loro eventuali risposte saranno molto gradite
.E, come sempre, grazie a tutti !
Saluti
BayMax
Risposte
Iniziamo con il dare la definizione di limite
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x \) che soddisfa \( \left| x -x_0 \right| \leq \delta \) allora risulta \( \left| f(x) -\ell \right| \leq \epsilon \)
Quando verifichi un limite con la definizione fissi un \( \epsilon \) e vuoi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta \) (che dipende dal \( \epsilon \) scelto). Ma questa cosa deve valere per ogni \( \epsilon >0 \). Pertanto dalla definizione è chiaro che non puoi avere delle limitazioni sul \( \epsilon \) di alcun genere.
Tu comunque non hai alcuna limitazione prendendo infatti la seconda disequazione
\[ \frac{1}{x} + x -2 > -\epsilon \]
La riscrivo in modo più compatto
\[ \frac{(x-1)^2}{x} > - \epsilon \]
Siccome hai fissato un \( \epsilon >0 \) e poiché puoi supporre \( x > 0 \) in quanto \( x \neq0 \) siccome la tua funzione non è definita in \( 0 \) e pertanto se esiste un intorno di \( 1 \) non puo includere lo zero, risulta chiaramente che
\( \forall x >0 \)
\[ \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0 > - \epsilon \]
Rispondendo alla prima domanda abbiamo visto che le soluzioni alla seconda disequazione sono tutta la retta reale positiva e diversa da zero (siccome possiamo supporre \( x > 0 \)). Quindi questa domanda non avrebbe molto più senso, però rispondo comunque.
Per completezza le due soluzioni che citi della seconda disequazione le trovi se supponi \( x < 0 \) pertanto la seconda disequazione diviene:
\[ x^2- x(3-\epsilon) + 1 \leq 0 \]
In questo caso sì supponi \( \epsilon \geq 4 \), però stai uscendo dal problema iniziale della verifica del limite ipotizzando \( x <0 \) quindi stai semplicemente calcolando una soluzione di una disequazione parametrica. E le soluzioni sono
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Ora chiaramente \[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Pertanto mostriamo che
\[ 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 0 \]
Infatti abbiamo che
\[ \sqrt{\epsilon(\epsilon-4)} \leq \epsilon - 2 \]
E abbiamo
\[ \epsilon^2 - 4 \epsilon \leq \epsilon^2 - 4\epsilon + 4 \]
Le due soluzioni sono dunque negative. Mentre le altre due soluzioni sono positive.
Sebbene non ha senso compararle per il seguente motivo.
Nella prima disequazione trovi quell'intervallo quando \( x >0 \) mentre se \( x <0 \) allora la soluzione è tutta la retta reale negativa escluso lo zero.
Viceversa nella seconda disequazione trovi che quando \( x >0 \) la soluzione è tutta la retta reale positiva escluso lo zero, mentre se \( x <0 \) allora è questo intervallo
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
La risoluzione del sistema quindi è dato da ( siccome \( \epsilon >0 \) fissato ).
Se \( x >0 \)
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Se \( x <0 \)
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
La terza domanda e la quarta hanno una risposta simile. Per la terza la risposta è la quarta, che è corretta sì ma incompleta.
Devi tener presente quello che stai facendo, devi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta >0\) che dipende dal \( \epsilon >0\) arbitrariamente scelto, tale che per le \( x \) che verificano \( \left| x- 1 \right| \leq \delta \) risulta che \( \left| f(x) + 1 \right| \leq \epsilon \).
Abbiamo dunque
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Implica
\[ \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x - 1\leq \frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Che è un intorno di \( 1 \).
Ora nota però che i due estremi non sono della forma \( - \delta \leq x -1 \leq \delta \) con \( \delta >0 \) per ovviare a questo problema è sufficiente definire
\[ \delta: = \min \left( \left| \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\right|,\left|\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \right| \right) \]
E hai finito! Infatti hai trovato il \( \delta \) definito qui sopra che soddisfa la definizione di limite.
Ti lascio in spoiler un modo meno tedioso e meno calcoloso per la verifica di questo limite, che forse è un po' avanzato.
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x \) che soddisfa \( \left| x -x_0 \right| \leq \delta \) allora risulta \( \left| f(x) -\ell \right| \leq \epsilon \)
"BayMax":
Ora, la prima domanda è questa: nella seconda soluzione ho delle limitazioni sulla $ \epsilon $ che deve essere $ \epsilon<0 $ (non accettabile per le ipotesi su $ \epsilon>0 $) $ vv $ $ \epsilon>4 $. E dunque come comportarmi ? Non posso avere limitazioni sulla $ \epsilon $ o sbaglio ? E comunque non limitazioni "inferiori". Devo poter scegliere la $ \epsilon $ piccola quanto voglio, non da 4 in su.
Quando verifichi un limite con la definizione fissi un \( \epsilon \) e vuoi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta \) (che dipende dal \( \epsilon \) scelto). Ma questa cosa deve valere per ogni \( \epsilon >0 \). Pertanto dalla definizione è chiaro che non puoi avere delle limitazioni sul \( \epsilon \) di alcun genere.
Tu comunque non hai alcuna limitazione prendendo infatti la seconda disequazione
\[ \frac{1}{x} + x -2 > -\epsilon \]
La riscrivo in modo più compatto
\[ \frac{(x-1)^2}{x} > - \epsilon \]
Siccome hai fissato un \( \epsilon >0 \) e poiché puoi supporre \( x > 0 \) in quanto \( x \neq0 \) siccome la tua funzione non è definita in \( 0 \) e pertanto se esiste un intorno di \( 1 \) non puo includere lo zero, risulta chiaramente che
\( \forall x >0 \)
\[ \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0 > - \epsilon \]
"BayMax":
Seconda domanda: mi sembra che, tra i quattro estremi trovati, $ 1+(\epsilon+sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2 $ e $ 1+(\-epsilon-sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2 $ siano rispettivamente il più grande ed il più piccolo tra i valori (ma non sono affatto sicuro di ciò, anzi, probabilmente sto sbagliando sul valore più piccolo), ma qual è il metodo più rapido per posizionare correttamente i restanti due valori sull'asse dei reali ? Un modo potrebbe essere quello di risolvere, ad esempio, la disequazione $ 1+(\epsilon-sqrt(\epsilon^2+4\epsilon))/2>1+(\-epsilon+sqrt(\epsilon^2-4\epsilon))/2 $ e vedere se si arriva a qualcosa di vero o falso. O, ancora, sostituire due epsilon "a caso" sulla calcolatrice e verificare i valori trovati. Ma esiste un metodo più semplice, immediato, rapido e "matematico"
Rispondendo alla prima domanda abbiamo visto che le soluzioni alla seconda disequazione sono tutta la retta reale positiva e diversa da zero (siccome possiamo supporre \( x > 0 \)). Quindi questa domanda non avrebbe molto più senso, però rispondo comunque.
Per completezza le due soluzioni che citi della seconda disequazione le trovi se supponi \( x < 0 \) pertanto la seconda disequazione diviene:
\[ x^2- x(3-\epsilon) + 1 \leq 0 \]
In questo caso sì supponi \( \epsilon \geq 4 \), però stai uscendo dal problema iniziale della verifica del limite ipotizzando \( x <0 \) quindi stai semplicemente calcolando una soluzione di una disequazione parametrica. E le soluzioni sono
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Ora chiaramente \[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Pertanto mostriamo che
\[ 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \leq 0 \]
Infatti abbiamo che
\[ \sqrt{\epsilon(\epsilon-4)} \leq \epsilon - 2 \]
E abbiamo
\[ \epsilon^2 - 4 \epsilon \leq \epsilon^2 - 4\epsilon + 4 \]
Le due soluzioni sono dunque negative. Mentre le altre due soluzioni sono positive.
Sebbene non ha senso compararle per il seguente motivo.
Nella prima disequazione trovi quell'intervallo quando \( x >0 \) mentre se \( x <0 \) allora la soluzione è tutta la retta reale negativa escluso lo zero.
Viceversa nella seconda disequazione trovi che quando \( x >0 \) la soluzione è tutta la retta reale positiva escluso lo zero, mentre se \( x <0 \) allora è questo intervallo
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
La risoluzione del sistema quindi è dato da ( siccome \( \epsilon >0 \) fissato ).
Se \( x >0 \)
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Se \( x <0 \)
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
"BayMax":
Terza domanda: come posso proseguire ?
Quarta domanda: è corretto quest'ultimo modo di procedere ?
La terza domanda e la quarta hanno una risposta simile. Per la terza la risposta è la quarta, che è corretta sì ma incompleta.
Devi tener presente quello che stai facendo, devi trovare l'esistenza di almeno un \( \delta >0\) che dipende dal \( \epsilon >0\) arbitrariamente scelto, tale che per le \( x \) che verificano \( \left| x- 1 \right| \leq \delta \) risulta che \( \left| f(x) + 1 \right| \leq \epsilon \).
Abbiamo dunque
\[ 1+\frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Implica
\[ \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\leq x - 1\leq \frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \]
Che è un intorno di \( 1 \).
Ora nota però che i due estremi non sono della forma \( - \delta \leq x -1 \leq \delta \) con \( \delta >0 \) per ovviare a questo problema è sufficiente definire
\[ \delta: = \min \left( \left| \frac{\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2}\right|,\left|\frac{\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon+4)}}{2} \right| \right) \]
E hai finito! Infatti hai trovato il \( \delta \) definito qui sopra che soddisfa la definizione di limite.
Ti lascio in spoiler un modo meno tedioso e meno calcoloso per la verifica di questo limite, che forse è un po' avanzato.
Ciao @3m0o !
Innanzitutto mi scuso con te se ti rispondo solo ora. In secondo luogo, ma non per importanza, ti dico solo poche parole, essendo stato già abbastanza prolisso nella mia domanda: GRAZIE !. Dove il maiuscolo non è usato a caso. Dirti solo un sincero grazie di cuore è riduttivo per la tua risposta così completa, precisa ed esaustiva. Dico solo WOW ! e ringrazio le persone come te che mettono a disposizione il proprio tempo per aiutare chi ne ha bisogno. Davvero non hai saltato un solo passaggio in ciò che hai scritto e questo lo apprezzo infinitamente.
Hai perfettamente ragione sull'ultima mia domanda, dovendo avere un intorno completo (circolare) di 1 ho bisogno di prendere un unico $\delta$ e, pertanto, prendo il minimo tra $\delta_1$ e $\delta_2$. Sei stato chiarissimo
. E grazie di aver risposto anche a tutte le altre domande con tanta cura.
Solo una domanda veloce
Quando scrivi questa soluzione, credo che nella fretta tu abbia invertito un + con un - nell'estremo destro, dico bene ?
Dovrebbe essere così:
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
sbaglio ?
Infatti, più avanti, hai messo il segno giusto. Confermi ?
Detto questo, ancora una volta non ho parole per esprimerti la mia gratitudine e ti rinnovo il mio GRAZIE più sincero.
Saluti
Innanzitutto mi scuso con te se ti rispondo solo ora. In secondo luogo, ma non per importanza, ti dico solo poche parole, essendo stato già abbastanza prolisso nella mia domanda: GRAZIE !. Dove il maiuscolo non è usato a caso. Dirti solo un sincero grazie di cuore è riduttivo per la tua risposta così completa, precisa ed esaustiva. Dico solo WOW ! e ringrazio le persone come te che mettono a disposizione il proprio tempo per aiutare chi ne ha bisogno. Davvero non hai saltato un solo passaggio in ciò che hai scritto e questo lo apprezzo infinitamente.
Hai perfettamente ragione sull'ultima mia domanda, dovendo avere un intorno completo (circolare) di 1 ho bisogno di prendere un unico $\delta$ e, pertanto, prendo il minimo tra $\delta_1$ e $\delta_2$. Sei stato chiarissimo
. E grazie di aver risposto anche a tutte le altre domande con tanta cura.Solo una domanda veloce
Quando scrivi questa soluzione, credo che nella fretta tu abbia invertito un + con un - nell'estremo destro, dico bene ?
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Dovrebbe essere così:
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
sbaglio ?
Infatti, più avanti, hai messo il segno giusto. Confermi ?
Detto questo, ancora una volta non ho parole per esprimerti la mia gratitudine e ti rinnovo il mio GRAZIE più sincero.
Saluti
Alla faccia del "dico solo poche parole"
Figurati è un piacere!
Dici bene! Ho fatto un errore di battitura! Correggo subito
Figurati è un piacere!
"BayMax":
Quando scrivi questa soluzione, credo che nella fretta tu abbia invertito un + con un - nell'estremo destro, dico bene ?
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Dovrebbe essere così:
\[ 1+\frac{-\epsilon-\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2}\leq x \leq 1+\frac{-\epsilon+\sqrt{\epsilon(\epsilon-4)}}{2} \]
Dici bene! Ho fatto un errore di battitura! Correggo subito
anche tu hai ragione @3m0o, ti garantisco che l'intenzione era quella di scrivere poco, ma non ce l'ho fatta . GRAZIE ANCORA INFINITAMENTE !.Ti auguro una splendida serata.
Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo