Verifica di un limite

[MicheleDN1]

Gentili utenti del forum, vorrei un chiarimento sul seguente esercizio svolto:

Verificare che $ \lim_{x \to 2}(\sqrt{8x}-4) = 0 $

Svolgimento:

$|\sqrt{8x}-4|<\varepsilon$

$-\varepsilon<\sqrt{8x}-4<\varepsilon$

$(4-\varepsilon)^2<8x<(4+\varepsilon)^2$

$\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2
$\frac{16 - 8\varepsilon + \varepsilon^2}{8}
$2 - \varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{8}
$-\varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{8}
$-2\varepsilon < -\varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{8}
Non mi è chiaro l'ultimo passaggio.
Sul sito dove ho trovato l'esercizio viene spiegato così:

Dato che $\varepsilon > 0$ e dato che si tratta di una quantità arbitraria piccola (sicuramente minore di 1), sappiamo che $\varepsilon^2 < \varepsilon$ quindi possiamo ad esempio scrivere la seguente catena di disuguaglianze
$-2\varepsilon < -\varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{8}
è corretta questa affermazione?

Grazie

[giammaria2]

Il ragionamento del sito non è sbagliato, ma mi sembra una complicazione inutile. Nei tuoi calcoli avresti dovuto precisare che deve essere $x>=0$ e che è lecito elevare a quadrato perché tutti i membri sono positivi; a parte questo, tutto bene fino a
$\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2 Ora noti che $4-epsilon$ è un po' meno di 4; elevato al quadrato dà un po' meno di 16 e dividendo per 8 ottieni un po' meno di 2. Ragionamento analogo per l'ultimo membro.

Come regola generale, da usarsi in altri esercizi, i termini con $epsilon^2$ possono essere trascurati rispetto a quelli con $epsilon$; ad esempio, da $x<3+2epsilon-1000epsilon^2$ puoi dedurre $x<3+"qualcosa"$ e quel "qualcosa" è positivo. Dimostrazione: si ha $2epsilon-1000epsilon^2>0$ quando $0

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[4131]

No, la definizione di limite è

Siano [tex]f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] funzione, [tex]c[/tex] punto di accumulazione per [tex]A[/tex] e [tex]\ell\in\mathbb{R}[/tex]: si dice che [tex]f[/tex] tende a [tex]\ell[/tex] per [tex]x[/tex] che tende a [tex]c[/tex] se e solo se per ogni [tex]\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0}[/tex] esiste [tex]\delta\in\mathbb{R}_{>0}[/tex] tale che per ogni [tex]x\in A\setminus\{c\}[/tex] che soddisfa [tex]\lvert x-c\rvert<\delta[/tex] si ha [tex]\lvert f(x)-\ell\rvert<\varepsilon[/tex].

Al di là del fatto che [tex]\varepsilon[/tex] non deve essere per forza "piccolo" (piccolo rispetto a cosa?), l'ultimo passaggio è sbagliato: se una proprietà vale su un insieme [tex]S[/tex] non è detto che continui a vale su un insieme [tex]T\supseteq S[/tex] al contrario, se una proprietà vale su [tex]S[/tex] allora vale anche su [tex]T\subseteq S[/tex]. Ad esempio, assumendo corretta la tua proposta [tex]\lvert x-2\rvert<2\varepsilon[/tex], se scegli [tex]\varepsilon=1/10[/tex], deve risultare che per ogni [tex]x[/tex] tale che

[tex]x\in(9/5,11/5)\cap\big([0,2)\cup(2,+\infty)\big)=:D[/tex]

allora

[tex]\lvert\sqrt{8x}-4\rvert<1/10.[/tex]

Se prendi [tex]x=219/100\in D[/tex] allora [tex]\sqrt{8\cdot\frac{219}{100}}-4\approx0.18569>1/10[/tex]: contraddizione.

Per determinare un [tex]\delta\in\mathbb{R}_{>0}[/tex] (dipendente da [tex]\varepsilon[/tex]) che verifichi la definizione puoi procedere ad esempio così. Da

[tex]4-\varepsilon<\sqrt{8x}<4+\varepsilon[/tex]

devi considerare due casi: [tex]\varepsilon\leq4[/tex] e [tex]\varepsilon>4[/tex]; nel primo caso [tex]4-\varepsilon\geq0[/tex] e puoi quadrare e proseguire come nello svolgimento fino a

[tex]-\varepsilon + \varepsilon^2/8 < x-2 < \varepsilon + \varepsilon^2/8[/tex]

ora, se provi a graficare [tex]\varepsilon\mapsto-\varepsilon+\varepsilon^2/8[/tex] (è un arco di parabola) e [tex]\varepsilon\mapsto-\varepsilon/4[/tex] per [tex]0<\varepsilon\leq4[/tex], trovi che [tex]-\varepsilon+\varepsilon^2/8<-\varepsilon/4[/tex] e analogamente [tex]\varepsilon/4<\varepsilon<\varepsilon+\varepsilon^2/8[/tex]. Quindi

[tex]\begin{gather}\lvert\sqrt{8x}-4\rvert<\varepsilon\label{eq:eps}\end{gather}[/tex]

è sicuramente soddisfatta su

[tex]\begin{cases}0\leq x<2\lor x>2\\\lvert x-2\rvert<\varepsilon/4,\quad \varepsilon\leq4\end{cases}[/tex]

Se consideri il caso [tex]\varepsilon>4[/tex], il sistema di disequazioni [tex]\ref{eq:eps}[/tex] ha per soluzioni ([tex]4-\varepsilon<\sqrt{8x}[/tex] è sempre vera sul suo dominio, poiché [tex]4-\varepsilon<0[/tex])

[tex]-2\leq x-2<\varepsilon+\varepsilon^2/8[/tex]

e poiché [tex]-2<-1/\varepsilon[/tex] e [tex]1/\varepsilon<\varepsilon<\varepsilon+\varepsilon^2/8[/tex] per [tex]\varepsilon>4[/tex], [tex]\ref{eq:eps}[/tex] è soddisfatto sul sottoinsieme

[tex]\begin{cases}0\leq x<2\lor x>2\\ \lvert x-2\rvert<1/\varepsilon,\quad \varepsilon>4\end{cases}[/tex]

quindi [tex]\delta:=\varepsilon/4>0[/tex] è una possibile scelta che verifica la definizione per [tex]\varepsilon\leq 4[/tex] e [tex]\delta:=1/\varepsilon[/tex] è una possibile scelta che verifica la definizione per [tex]\varepsilon> 4[/tex] .