Verifica del limite con incognita al denominatore

[Aemelia]

$lim_(x->0)((3^x)/(3^(x+1)-x*3^x))=1/3$

L'ho così svolto:

$|3^x/(3^x(3-x))-1/3|<\epsilon$; semplifico $3^x$

$|x/(3(3-x))|<\epsilon$;

$-\epsilon
$1/\epsilon<(9-3x)/x<-1/\epsilon$;

$1/\epsilon<9/x-3<-1/\epsilon$;

$3+1/\epsilon<9/x<3-1/\epsilon$;

$(3\epsilon+1)/\epsilon<9/x<(3\epsilon-1)/\epsilon$; faccio nuovamente l'inverso cambiando i segni delle disequazioni

$\epsilon/(3\epsilon-1)
$(9\epsilon)/(3\epsilon-1)
Effettivamente l'esercizio risulta, ma mi chiedevo se arrivata a questo punto

$-\epsilon
invece di fare l'inverso, e poi farlo nuovamente arrivata a questo punto

$(3\epsilon+1)/\epsilon<9/x<(3\epsilon-1)/\epsilon$

ci fosse un modo per evitare il problema dell'incognita al denominatore fin da subito

[minomic]

Così va già bene, altrimenti per non confonderti (specialmente se le espressioni si fanno più complicate) puoi spezzare quella disequazione in un sistema, cioè
${(x/(9-3x)> -epsilon), (x/(9-3x) Questo metodo è anche più standard ed evita possibili errori nelle inversioni delle disequazioni.

[giammaria2]

@Aemelia. Attenta: fare l'inverso in una disequazione è un'operazione rischiosa. Ad esempio, avendo
$2/x<1$
col metodo tradizionale (tutto a primo membro e studio dei segni) ottieni $x<0 vvx>2$ che non è quello che ricavi facendo l'inverso. Inoltre dopo la prima volta che l'hai fatto hai ottenuto un'assurdità: un numero non può essere contemporaneamente maggiore di $1/epsilon$ e minore di $-1/epsilon$.

[minomic]

"giammaria":Attenta: fare l'inverso in una disequazione è un'operazione rischiosa.

Quoto assolutamente!! Invertire una disequazione non è MAI l'unica strada quindi... scegliamone un'altra!

"giammaria":Inoltre dopo la prima volta che l'hai fatto hai ottenuto un'assurdità: un numero non può essere contemporaneamente maggiore di $1/epsilon$ e minore di $-1/epsilon$

Questa mi era scappata... comunque ribadisco: fai il sistema.

[Aemelia]

Grazie mille per le risposte e le correzioni!