Veramente URGENTE, chiarimento procedimento di 1 problema

[vrijheid]

-Determinare un'equazione parametrica della proiezione della retta g:r=(3,-2,6)+t(1,1,-5) sul piano x-2y+z-1=0

Portiamo la retta in forma cartesiana

x=3+t
y=-2+t
z=6-5t

t=x-3
y=-5+x
z=-5x+21

x-y-5= 0
z+5x-21= 0 ------> Ma quindi è impossibile che trovo l'equazione della retta in forma cartesiana con 3 incognite, trovo un piano? è sbagliato scrivere il piano, uguagliando queste 2 equazioni, x-6y-z-9= 0


il piano che la contiene è
a(x-y-5)+b(z+5x-21)= 0 ---->Qui non ho capito perchè dobbiamo trovare il piano generico...non va bene x-6y-z-9= 0 ?

cioè x(a+5b)-ay+bz-21b-5a= 0

Adesso bisogna imporre l'ortogonalità tra questo piano e il piano x-2y+z-1=0
---->Imporre ortogonalità vuol dire imporre prodotto scalare?
(a+5b,-a,b)(1,-2,1)= 0

a+5b+2a+b= 0
3a=-6b
a=-2b

sostituiamo questo valore nel piano generico a(x-y-5)+b(z+5x-21)= 0 quindi
-2b(x-y-5)+b(z+5x-21)= 0 dividiamo tutto per b
-2(x-y-5)+(z+5x-21)= 0
3x+2y+z-11= 0

Adesso metterla in forma parametrica.....Ecco qui non ho capito come può venire la forma parametrica se ottengo
x=u
y=v
z=3u+2v-11

la mia soluzione dovrebbe dare g:r=(5,0,-4)+t*(-2,1,4)

Grazie!

PS: Stefania, questo era il tuo procedimento... Nel caso vedessi il post, se hai tempo di spiegarmi...

[bimbozza]

Mi hai chiamata? Eccomi! ^.^ Spero di essere esaustiva perchè fra poco devo uscire... per ogni ulteriore chiarimento non posso rispondere prima di domattina..

"Ma quindi è impossibile che trovo l'equazione della retta in forma cartesiana con 3 incognite, trovo un piano? è sbagliato scrivere il piano, uguagliando queste 2 equazioni, x-6y-z-9= 0 "
sì, è sbagliato.. hai due piani...la loro intersezione è una retta, non un piano... ma scusa, se te hai un sistema qualsiasi, come lo risolvi? eliminando un'equazione?

"Qui non ho capito perchè dobbiamo trovare il piano generico...non va bene x-6y-z-9= 0 ?"
no, per una retta passano infiniti piani, quindi devi trovare l'equazione del fascio di piani...

"Imporre ortogonalità vuol dire imporre prodotto scalare?"
per definizione, due piani sono ortogonali se il prodotto scalare dei loro parametri direttori è nullo)

"Ecco qui non ho capito come può venire la forma parametrica "
manca ancora un passaggio (se non l'ho scritto è stata una mia svista...). Devi mettere in sistema il piano ottenuto (3x+2y+z-11= 0)con il piano dato (x-2y+z-1=0) ed ottieni la retta

[math]\left{
2y=5-x\\
z=6-2x\\[/math]

che, posto y=t ti dà

[math]\left{
x=5-2t\\
y=t\\
z=6-2(5-2t)=-4+4t\\[/math]

che è la proiezione cercata...

[vrijheid]

Oky grazie mille Stefania, dopo provo!
Purtroppo lunedì ho la verifica e sto cercando di chiarire i dubbi...

Aggiunto 21 minuti più tardi:

Scusami ancora Stefania, ma il piano che abbiamo trovato( 3x+2y+z-11= 0 ), sarebbe il piano perpendicolare all'altro che già avevamo? E così, la loro intersezione, mi consente di trovare la retta che è perpendicolare a entrambi?

Non riesco a chiarire bene i concetti...