Varie definizioni di MCD.
salve,
nella scuola media per trovare il MCD di due numeri, questi ultimi si scomponevano in fattori primi e si prendevano i fattori comuni con esponenti più piccoli. Quindi ci andava bene una definizione del genere:
oppure
poi ho trovato tale definizione:
se per esempio ho due numeri $24$ e $18$ e i loro divisori sono:
$D_24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
$D_18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$
$D_24 nn D_18 = {1, 2, 3, 6}$
secondo la mia ultima definizione data come faccio a dire che $6$ è $MCD(24,18)$ ?
perchè forse considero un elemento $c$ e divido per tutti questi divisori comuni $\in D24∩D18$, quando trovo l'ultimo che è divisibile per $c$ esso è il massimo comun divisore?
quindi se per esempio nel caso fosse stato $3 \in D_24 nn D_18$ ultimo valore divisibile per $c$ (non consideriamo 6. facciamo come se non fosse divisibile per $c$) sarebbe stato $3$ il $MCD$ di $24$ e $18$ ?
diciamo quindi che non mi è molto chiara la condizione 2 dell'ultima definizione data di MCD...
grazie mille.
nella scuola media per trovare il MCD di due numeri, questi ultimi si scomponevano in fattori primi e si prendevano i fattori comuni con esponenti più piccoli. Quindi ci andava bene una definizione del genere:
Se a e b sono interi non entrambi nulli, il massimo comun divisore $MCD(a, b)$ di $a$ e $b$
è il più grande intero che divide $a$ e $b$.
oppure
dati due numeri $a,b \in NN_0$, il $MCD$ fra $a$ e $b$, è il più grande divisore comune a entrambi
poi ho trovato tale definizione:
Dati $a, b \in ZZ$. Un numero intero $d$ si dice un MCD di $a$ e $b$ se valgono le seguenti proprietà:
1. $d|a, d|b$;
2. se $c \in ZZ, c|a$ e $c|b \Rightarrow c|d$.
se per esempio ho due numeri $24$ e $18$ e i loro divisori sono:
$D_24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
$D_18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$
$D_24 nn D_18 = {1, 2, 3, 6}$
secondo la mia ultima definizione data come faccio a dire che $6$ è $MCD(24,18)$ ?
perchè forse considero un elemento $c$ e divido per tutti questi divisori comuni $\in D24∩D18$, quando trovo l'ultimo che è divisibile per $c$ esso è il massimo comun divisore?
quindi se per esempio nel caso fosse stato $3 \in D_24 nn D_18$ ultimo valore divisibile per $c$ (non consideriamo 6. facciamo come se non fosse divisibile per $c$) sarebbe stato $3$ il $MCD$ di $24$ e $18$ ?
diciamo quindi che non mi è molto chiara la condizione 2 dell'ultima definizione data di MCD...
grazie mille.
Risposte
La condizione 2 ti dice che comunque prendi $c \in \mathbb{Z}$, se $c$ è un divisore sia di $a$ che di $b$ allora è un divisore pure di $d$.
si certo, non è un problema di lettura ma volevo proprio capire come si trova il MCD basandosi esclusivamente sulla definizione data.
o forse è meglio la domanda: che ruolo ha $c$ nella ricerca del MCD?
o forse è meglio la domanda: che ruolo ha $c$ nella ricerca del MCD?
La definizione corretta di $MCD$ è ovviamente quella che hai incontrato nella tua ultima fase di studi. Quello che ti insegnano alle scuole medie è l'algoritmo per la determinazione del $MCD$: sarebbe interessante produrre una prova del fatto che l'algoritmo funziona, i.e. che l'algoritmo in questione fornisce effettivamente il $MCD$.
Diciamo che ho introdotto l'algoritmo quello delle scuole medie per capire come ottenere lo stesso risultato con la nuova definizione.
praticamente seguendo la 1. si determina il "comune divisore". e con la 2. il "massimo comun divisore"?
vorrei ricevere un riscontro pratico in base alla teoria introdotta...
praticamente seguendo la 1. si determina il "comune divisore". e con la 2. il "massimo comun divisore"?
vorrei ricevere un riscontro pratico in base alla teoria introdotta...
La definizione è una definizione: stop. Con la definizione non si determina niente, se con determinare intendiamo l'atto pratico del trovare il $MCD$.
La definizione ti dice solo cos'è il $MCD$, quali proprietà deve avere un intero per potere essere chiamato $MCD$.
La 1) ti dice che un intero è $MCD$ se divide antrambi gli interi assegnati (quindi è divisore); la 2) ti dice che, rispetto alla relazione di "essere divisore" è il più grande (e quindi è il più grande, in termini di ordine, tra i divisori di $a$ e $b$: infatti se $x|y$ e $x!=y$ allora c'è un intero che moltiplicato per $x$ da $y$, quindi $y>x$ - restando tra i positivi). Stop. Non ti dice come trovarlo. Se lo volessi trovare unicamente attarverso questa definizizione, dovresti utilizzare la definizione per un controllo del risultato, quindi ti scrivi l'insieme dei divisori (positivi) di $a$, l'insieme di quelli di $b$, ne fai l'intersezione, ordini l'insieme intersezione, l'ultimo intero è il $MCD$: ma questo è un procedimento molto lungo e dispendioso.
La definizione ti dice solo cos'è il $MCD$, quali proprietà deve avere un intero per potere essere chiamato $MCD$.
La 1) ti dice che un intero è $MCD$ se divide antrambi gli interi assegnati (quindi è divisore); la 2) ti dice che, rispetto alla relazione di "essere divisore" è il più grande (e quindi è il più grande, in termini di ordine, tra i divisori di $a$ e $b$: infatti se $x|y$ e $x!=y$ allora c'è un intero che moltiplicato per $x$ da $y$, quindi $y>x$ - restando tra i positivi). Stop. Non ti dice come trovarlo. Se lo volessi trovare unicamente attarverso questa definizizione, dovresti utilizzare la definizione per un controllo del risultato, quindi ti scrivi l'insieme dei divisori (positivi) di $a$, l'insieme di quelli di $b$, ne fai l'intersezione, ordini l'insieme intersezione, l'ultimo intero è il $MCD$: ma questo è un procedimento molto lungo e dispendioso.
Qualcosa di pratico... beh, supponiamo hai qualcosa del tipo $ax + by = 1$ (con $a, b, x, y \in Z$)
1) $1|x$ e $1|y$ è vero $\forall x, y \in Z$
2) Supponi che $c|x$ e $c|y$; allora, per definizione, $x = mc$ e $y = nc$. Hai quindi che $1 = ax + by = amc + anc = c(am + an)$, quindi $c|1$
Da queste puoi concludere che $1 = MCD(x, y)$
Più in generale, dalla definizione puoi direttamente concludere che, se $c$ è un divisore comune di $x$ e $y$ e $c = k_1x + k_2y$ con $k_1, k_2 \in Z$, allora $c = MCD(x, y)$, la dimostrazione è analoga alla precedente.
1) $1|x$ e $1|y$ è vero $\forall x, y \in Z$
2) Supponi che $c|x$ e $c|y$; allora, per definizione, $x = mc$ e $y = nc$. Hai quindi che $1 = ax + by = amc + anc = c(am + an)$, quindi $c|1$
Da queste puoi concludere che $1 = MCD(x, y)$
Più in generale, dalla definizione puoi direttamente concludere che, se $c$ è un divisore comune di $x$ e $y$ e $c = k_1x + k_2y$ con $k_1, k_2 \in Z$, allora $c = MCD(x, y)$, la dimostrazione è analoga alla precedente.
OK. ho capito!
Vi ringrazio tanto per il vostro aiuto!!!
Vi ringrazio tanto per il vostro aiuto!!!
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