Variare del parametro alpha

[Sagittarioromano]

Salve a tutti mi servirebbe una mano con questo esercizio:

Calcolare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \), il valore del limite:

\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup2\log \lgroup\frac{2n^2+1}{2n^2}\rgroup}-sen\frac{1}{n^2}\rgroup \)


Come mi devo comportare?

a me viene

\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup\frac{1}{n^2}}-\frac{1}{n^2}\rgroup \) possibile?

Personalmente non so cosa dovrei fare con il parametro alpha e cosa l'esercizio richieda..

[vittorino70]

Suppongo che il limite sia per \(\displaystyle n->+ \infty \).Per comodità pongo \(\displaystyle u=\frac{1}{n} \) di modo che il limite ( che chiamo L) diventa:
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} \frac{2\log(1+\frac{u^2}{2})-\sin {u^2}}{u^\alpha}\)

Oppure:

\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} u^{2-\alpha} \left(\log \left(1+\frac{u^2}{2}\right)^{\frac{2}{u^2}}-\frac{\sin u^2}{u^2}\right)\)
A questo punto sono possibili due ipotesi:

1) \(\displaystyle \alpha\le 2 \)
In tal caso,per noti limiti, risulta:
\(\displaystyle L=0\cdot (\log e-1)=0\cdot (1-1)=0 \)
2) \(\displaystyle \alpha>2\).
Per questa occorrenza dobbiamo ricorrere alle approssimazioni (valide per x vicino allo zero):
\( \displaystyle log(1+x) \approx x -\frac{x^2}{2},\sin{x} \approx x-\frac{x^3}{6}\)
In questo modo il limite diventa:
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} \frac{\frac{2}{u^2}\cdot (\frac{u^2}{2}-\frac{u^4}{8})-\frac{1}{u^2}\cdot(u^2-\frac{u^6}{6})}{u^{\alpha-2}}\)
Ovvero:
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} \frac {-\frac{1}{4}+\frac{u^2}{6} } {u^{\alpha-4}} \)

Di conseguenza occorre fare ulteriori 3 ipotesi:
0) \(\displaystyle 2<\alpha <4 \)
1) \(\displaystyle \alpha =4 \)
2) \(\displaystyle \alpha > 4 \)

Per la (0) si ha :
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} (u^{4-\alpha})\cdot(-\frac{1}{4}+\frac{u^2}{6} )=0\)
Per la (1) risulta:
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} (-\frac{1}{4}+\frac{u^2}{6} )=-\frac{1}{4}\)
Per la (2) il limite si scrive al seguente modo:
\(\displaystyle L=\lim_{u->0^+} \frac {-\frac{1}{4}+\frac{u^2}{6}}{u^{\alpha-4}}=-\infty\)

Raccogliendo i vari risultati si ha che :
\(\displaystyle L=0 \text{ per } \alpha< 4,L=-\frac{1}{4} \text{ per } \alpha=4,L=-\infty \text{ per } \alpha>4\)

Salvo ognuno
P.S. E questo sarebbe un esercizio da Scuola Media Superiore ?