Valore seno

[Phaedrus1]

Voglio trovare il valore del seno a $15°$ usando la formula di bisezione: quindi scrivo

$sin15°=sinfrac{30°}{2}=sqrt(frac{1-cos30°}{2})=sqrt(frac{2-sqrt(3)}{4})$

questo valore dovrebbe essere uguale a $frac{sqrt(6)-sqrt(2)}{4}$, ma con quali passaggi posso arrivarci?

[franced]

"Phaedrus":Voglio trovare il valore del seno a $15°$ usando la formula di bisezione: quindi scrivo

$sin15°=sinfrac{30°}{2}=sqrt(frac{1-cos30°}{2})=sqrt(frac{2-sqrt(3)}{4})$

questo valore dovrebbe essere uguale a $frac{sqrt(6)-sqrt(2)}{4}$, ma con quali passaggi posso arrivarci?

Puoi anche fare così, con la formula di duplicazione:

$sin (30) = sin (15 + 15) = 2 sin (15) cdot cos (15)$

pongo $x = sin 15$ da cui $cos (15) = sqrt(1-x^2)$

l'equazione è allora equivalente a:

$1/2 = 2 x sqrt(1-x^2)$

elevando al quadrato e risolvendo trovi $x$, che sarà il valore (positivo) più piccolo tra le radici.

[G.D.5]

Porta il $4$ al denominatore fuori radici, quindi utilizza la formula per i radicali doppi. Alla fine razionalizza.

[Phaedrus1]

"franced":elevando al quadrato e risolvendo trovi $x$, che sarà il valore (positivo) più piccolo tra le radici.

Curiosità: perché?

[franced]

"Phaedrus":[quote="franced"]elevando al quadrato e risolvendo trovi $x$, che sarà il valore (positivo) più piccolo tra le radici.

Curiosità: perché?[/quote]


Il perché te lo posso spiegare così:

quando imponi che

$sin (30) = sin (15+15) = 2 sin (15) cdot cos (15)$

devi scegliere una variabile $x$, nel nostro caso $x= sin (15)$,
ma potremmo anche scegliere $x=cos (15)$.

L'algebra ci fornisce il valore di $sin (15)$, ma anche quello di $cos (15)$
per la semplice ragione che l'equazione

$1/2 = 2 x sqrt(1-x^2)$

$1/4 = 4x^2(1-x^2)$

ha due soluzioni positive; una è il seno di 15, l'altra il coseno di 15.

Io prendo la più piccola perché so già che il seno di 15 è minore del coseno di 15:

$15 < 45$ per cui $sin (15) < cos (15)$.

Visto che troviamo la stessa equazione $1/4 = 4x^2(1-x^2)$ anche mettendo $x=cos(15)$,
tanto

$sin^2 (15) + cos^2 (15) = 1$.