Valore assoluto + soluzione funzione seno

[rombo1]

Chiedo un aiuto con il valore assoluto. Ho questo esercizio con le disequazioni: $|(\cos(2x))/(\sen(x))| <= 1$
Io lo avrei diviso in due sistemi di disequazioni,
Il primo:

$\{((\cos(2x))/(\sen(x)) > 0),((\cos(2x))/(\sen(x)) <= 1):}$

il secondo:

$\{((\cos(2x))/(\sen(x)) < 0),(-(\cos(2x))/(\sen(x)) <= 1):}$

e cercato poi l'insieme delle soluzioni del primo e del secondo separatamente.
La soluzione dell'esercizio invece utilizza solo un sistema, senza valutare i casi $>< 0$ e cerca le soluzioni comuni in esso. Infatti propone:

$\{((\cos(2x))/(\sen(x)) <= 1),(-(\cos(2x))/(\sen(x)) <= 1):}$

Questa unione dei due sistemi in uno, è un caso particolare dell'esercizio oppure è valido in generale?

Grazie

[axpgn]

Allora ...

Il metodo che hai usato ovvero quello di "sciogliere" il valore assoluto è quello classico, "scolastico" potremmo dire e va SEMPRE bene.
D'altra parte, ragionando sulla disequazione si nota facilmente che il quel valore assoluto sarà compreso tra $-1$ e $1$ cioè $-1<=cos(2x)/sin(x)<=1$ che corrisponde esattamente alle due disequazioni che ti sono state proposte.
Questo metodo vale quando sei in questa situazione $|f(x)|0$.

Cordialmente, Alex

[rombo1]

tutto chiaro, grazie.
Ho un'ulteriore domanda su questo esercizio, la seconda disequazione del sistema proposto dal libro $(\cos(2x))/(\sen(x)) >= -1$

lo risolvo come una disequazione fratta, dividendola in due disequazioni da risolvere:
$(2sen^2(x) + sen(x) -1)/(sen(x)) >= 0$

quindi con $2sen^2(x) + sen(x) -1) >=0$ trovo che ha due soluzioni

$sen(x) <= -1/2$ e $sen(x) >= 1$

Ora il libro propone per esprime le soluzioni del seno un modello da seguire:

1. $sen(x) < b$ per $-(\pi - \alpha) < x < \alpha)$ [od equivalente $\pi - \alpha < x < 2\pi + \alpha$]
2. $sen(x) > b$ per $\alpha < x < \pi - \alpha$

seguendo questo modello per $sen(x) <= -1/2$, dove $x=7/6\pi$ per $-1/2$, sarà nel primo caso quindi le soluzioni saranno

$-pi/6 <= x <= 7/6\pi $ (tralascio la periodicità)

ma questo non è vero perchè guardano "in faccia" il grafico troverò che la $sen(x) <= -1/2$ tra $7/6\pi <= x <= 11/6\pi$ (traslato più o meno).

Perché se considero $b$ come l'ordinata del grafico della funzione seno, o la retta che la taglia in due, funziona finché $b > 0$ e trovo risultati opposti con $b<0$? In termini di segmento lo potrei comprendere (es. sapendo che $-sen(x) = sen(-x)$, ma quella formula "algebrica" proposta dal libro dovrebbe essere sempre valida.

Grazie

[orsoulx]

"axpgn":Questo metodo vale quando sei in questa situazione $|f(x)|0$.

mi pare sia sempre applicabile (avendone voglia).
@rombo,
supponendo che il libro ponga $ alpha=arcsin(b) $, la formula che propone mi pare corretta, anche se mi suscita conati di vomito.
Ciao

[@melia]

NB $arcsin (-1/2)$ NON è $7/6 pi$ bensì $-pi/6$.
Concordo con orsolux per quanto riguarda i conati di vomito.

[axpgn]

@orsoulx
Sì, certo, quello che volevo dire è che se, per esempio, hai più valori assoluti o invece di un "semplice" numero $k$ hai qualche espressione più complicata, in pratica non la risolvi così ...

[orsoulx]

"axpgn":nvece di un "semplice" numero k hai qualche espressione più complicata, in pratica non la risolvi così ...

non vedo vantaggi pratici nello svolgere due sistemi al posto di uno, tranne, forse, nel caso di altri valori assoluti al posto di $ k $.
Ciao

[rombo1]

"orsoulx":[quote="axpgn"]Questo metodo vale quando sei in questa situazione $|f(x)|0$.

mi pare sia sempre applicabile (avendone voglia).
[/quote]
quindi se avessi $|f(x)| < g(x)$ potrei utilizzare lo stesso ragionamento?

"orsoulx":[quote="axpgn"]nvece di un "semplice" numero k hai qualche espressione più complicata, in pratica non la risolvi così ...

non vedo vantaggi pratici nello svolgere due sistemi al posto di uno, tranne, forse, nel caso di altri valori assoluti al posto di $ k $.
Ciao[/quote]
Quindi il metodo di dividerlo in due è "sbagliato" e quello di comprimerlo in un sistema è il metodo più corretto?

@rombo,
supponendo che il libro ponga $ alpha=arcsin(b) $, la formula che propone mi pare corretta, anche se mi suscita conati di vomito.
Ciao

$\alpha$ è un angolo qualsiasi, ma nella definizione di quella formula è definito come un angolo nel primo e secondo quadrante della circonferenza goniometrica. Non il valore di arcsin.
Quello che non riesco a far tornare tramite quella formulazione sono i valori che prende $\alpha$ nel terzo e quarto quadrante.

Come mai siete contrari a quella formulazione?

grazie a tutti!

[@melia]

"rombo":
Come mai siete contrari a quella formulazione?

Ti sarai accorto anche tu che ragionando trovi la soluzione corretta, usando una formula di difficile memorizzazione a volte viene corretto e altre no, secondo te perché siamo contrari?

[axpgn]

"orsoulx":non vedo vantaggi pratici nello svolgere due sistemi al posto di uno,

Io sì
In generale sono più semplici e più veloci (ed anche, sempre in generale, non indipendenti,il che velocizza ulteriormente).

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"rombo":quindi se avessi $ |f(x)| Si

"rombo":Quindi il metodo di dividerlo in due è "sbagliato" e quello di comprimerlo in un sistema è il metodo più corretto?

Sono due percorsi possibili e corretti. Optare per l'uno o per altro è soggettivo. Come vedi Alex è convinto che la sua scelta sia quella con il minor 'costo' di elaborazioni io, al contrario, preferisco l'altra. Ovviamente il "generale" di Alex è al più un "caporale" vanitoso .

"rombo":α è un angolo qualsiasi, ma nella definizione di quella formula è definito come un angolo nel primo e secondo quadrante della circonferenza goniometrica. Non il valore di arcsin.

Sei certo che parli di primo e secondo quadrante? Se così fosse sarebbe proprio sbagliato (se $ b<0 $ non esisterebbero angoli $ alpha$ corretti). Se, invece, fosse primo o quarto quadrante sarebbe proprio arcsin(b).

"axpgn":In generale sono più semplici e più veloci (ed anche, sempre in generale, non indipendenti,il che velocizza ulteriormente).

Basta esserne convinti.
Ciao