Valore assoluto ed equazioni goniometriche, PROBLEM!
SALVE A TUTTI
vorrei sapere come agisce il valore assoluto su un equazione goniometrica come le seguenti ed il periodo come viene influenzato dal valore assoluto?
$|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0$
IL MIO PROCEDIMENTO E' IL SEGUENTE:
il valore assoluto svolgendo l'equazione va spostato nell' argomento così? (e poi eventualmente procedere come una normale equazione):
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0$
$|sin2x|=|sin(x-pi/9)|$
$|2x|=|x- pi/9+2k(pi)|$ $\wedge$ $|2x|=|pi-(x- pi/9)+2k(pi)|$
oppure in questa
$|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
$|(2cos(2x+pi/6))|=1$
$|(cos(2x+pi/6))|=1/2$
$|(cos(2x+pi/6))|=cos (pi/3)$
$|(2x+pi/6)|=+-(pi/3)+2k(pi)$
o il metodo è sbagliato? eventualmente perchè?
vorrei sapere come agisce il valore assoluto su un equazione goniometrica come le seguenti ed il periodo come viene influenzato dal valore assoluto?
$|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0$
IL MIO PROCEDIMENTO E' IL SEGUENTE:
il valore assoluto svolgendo l'equazione va spostato nell' argomento così? (e poi eventualmente procedere come una normale equazione):
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0$
$|sin2x|=|sin(x-pi/9)|$
$|2x|=|x- pi/9+2k(pi)|$ $\wedge$ $|2x|=|pi-(x- pi/9)+2k(pi)|$
oppure in questa
$|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
$|(2cos(2x+pi/6))|=1$
$|(cos(2x+pi/6))|=1/2$
$|(cos(2x+pi/6))|=cos (pi/3)$
$|(2x+pi/6)|=+-(pi/3)+2k(pi)$
o il metodo è sbagliato? eventualmente perchè?
Risposte
Felipe ,
il valore assoluto di un numero reale , come si definisce ?
$|x| = x $ se $x \geq 0$
$|x| = -x $ se $x < 0$
PERciò , se prendi la prima delle equazioni : $|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
questa dà luogo a due equazioni, anzichè una sola :
La prima sarà : $ 2cos(2x+pi/6)-1=0$ , che vale quando : $ 2cos(2x+pi/6) \geq 0 $
La seconda sarà : $-2cos(2x+pi/6)-1=0$ , che vale quando : $ 2cos(2x+pi/6) < 0 $
Come vedi , nella seconda equazione ho messo il segno " $-$ " davanti al termine in $cos$ , per quanto detto prima a proposito del valore assoluto .
Alla stessa maniera devi ragionare per l'altra equazione : le ipotesi che devi fare circa le possibili combinazioni dei valori assoluti sono 4 , però poi vedrai che in sostanza sempre due equazioni devi risolvere.
Ti devi liberare del valore assoluto non spostandolo all'argomento , ma prima di risolvere l'equazione .Prova !
il valore assoluto di un numero reale , come si definisce ?
$|x| = x $ se $x \geq 0$
$|x| = -x $ se $x < 0$
PERciò , se prendi la prima delle equazioni : $|(2cos(2x+pi/6))|-1=0$
questa dà luogo a due equazioni, anzichè una sola :
La prima sarà : $ 2cos(2x+pi/6)-1=0$ , che vale quando : $ 2cos(2x+pi/6) \geq 0 $
La seconda sarà : $-2cos(2x+pi/6)-1=0$ , che vale quando : $ 2cos(2x+pi/6) < 0 $
Come vedi , nella seconda equazione ho messo il segno " $-$ " davanti al termine in $cos$ , per quanto detto prima a proposito del valore assoluto .
Alla stessa maniera devi ragionare per l'altra equazione : le ipotesi che devi fare circa le possibili combinazioni dei valori assoluti sono 4 , però poi vedrai che in sostanza sempre due equazioni devi risolvere.
Ti devi liberare del valore assoluto non spostandolo all'argomento , ma prima di risolvere l'equazione .Prova !
In questi casi, per eliminare il valore assoluto senza ricorrere alle disequazioni, conviene procedere senza discutere:
$|2cos(2x+pi/6)|-1=0 rarr$
$rarr 2|cos(2x+pi/6)|=1 rarr$
$rarr |cos(2x+pi/6)|=1/2 rarr$
$rarr [cos(2x+pi/6)=1/2] vv [cos(2x+pi/6)=-1/2]$
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0 rarr$
$rarr |sin2x|=|sin(x-pi/9)| rarr$
$rarr [sin2x=sin(x-pi/9)] vv [sin2x=-sin(x-pi/9)] rarr$
$rarr [sin2x=sin(x-pi/9)] vv [sin2x=sin(-x+pi/9)]$
Nel primo caso si ottengono equazioni elementari, nel secondo equazioni notevoli del tipo $[senalpha=senbeta]$.
$|2cos(2x+pi/6)|-1=0 rarr$
$rarr 2|cos(2x+pi/6)|=1 rarr$
$rarr |cos(2x+pi/6)|=1/2 rarr$
$rarr [cos(2x+pi/6)=1/2] vv [cos(2x+pi/6)=-1/2]$
$|sin2x|-|sin(x-pi/9)|=0 rarr$
$rarr |sin2x|=|sin(x-pi/9)| rarr$
$rarr [sin2x=sin(x-pi/9)] vv [sin2x=-sin(x-pi/9)] rarr$
$rarr [sin2x=sin(x-pi/9)] vv [sin2x=sin(-x+pi/9)]$
Nel primo caso si ottengono equazioni elementari, nel secondo equazioni notevoli del tipo $[senalpha=senbeta]$.
grazie per le risposte, in effetti stavo procedendo in maniera alquanto stupida, però mi straniva il fatto che non avendo fatto le disequazioni goniometriche il mio libro proponeva esercizi dove avrei dovuto usarle. procedo senza discutere per il momento.
Infatti , non devi risolvere alcuna disequazione ! Dire che un numero reale è maggiore di zero , non significa risolvere una disequazione :
Nel secondo caso tuo , esemplifico più semplicemente . Supponi di avere la seguente equazione :
$ |a| - |b| = 0 $
Possono aversi 4 casi :
1) $a$ positivo e $b$ positivo : l'eq diventa : $ a-b= 0 $
2) $a$ positivo e $b$ negativo : l'eq diventa : $ a - ( -b) = 0 $ , cioè $ a+b = 0 $
3) $a$ negativo e $b$ positivo : l'eq diventa : $ -a - b = 0$ , che come vedi è identica alla precedente
4) $a$ negativo e $b$ negativo : l'eq diventa : $ -a -(-b) = 0$ , che è identica alla 1) .
Perciò , devi risolvere solo due equazioni , anche nel secondo caso .
Nel secondo caso tuo , esemplifico più semplicemente . Supponi di avere la seguente equazione :
$ |a| - |b| = 0 $
Possono aversi 4 casi :
1) $a$ positivo e $b$ positivo : l'eq diventa : $ a-b= 0 $
2) $a$ positivo e $b$ negativo : l'eq diventa : $ a - ( -b) = 0 $ , cioè $ a+b = 0 $
3) $a$ negativo e $b$ positivo : l'eq diventa : $ -a - b = 0$ , che come vedi è identica alla precedente
4) $a$ negativo e $b$ negativo : l'eq diventa : $ -a -(-b) = 0$ , che è identica alla 1) .
Perciò , devi risolvere solo due equazioni , anche nel secondo caso .
Non è necessario fare i quattro casi, si perde di vista l'aspetto intuitivo. Più semplicemente:
$|a|=|b| rarr [a=b] vv [a=-b]$
Voglio dire, se due espressioni devono avere lo stesso valore assoluto, delle due l'una, le espressioni devono essere uguali oppure opposte. Inoltre:
In questo modo, dopo aver determinato le soluzioni, uno studente di esperienza e capacità medie andrà a verificare se le soluzioni ottenute soddisfano la disequazione corrispondente. Ovviamente, in questo caso, le soluzioni ottenute non possono non soddisfare la disequazione corrispondente. Tuttavia, sarebbe meglio farlo notare e argomentarlo. Infine:
Questa osservazione è più che pertinente. Se è possibile liberarsi dei valori assoluti mediante procedimenti logici che non coinvolgano le disequazioni, non si comprende per quale motivo non si dovrebbe farlo. Anche perchè, presumibilmente, il fine ultimo del docente che ha assegnato questi esercizi era quello di risolverli utilizzando l'aspetto intuitivo del problema, non la forza bruta di una discussione non necessaria.
$|a|=|b| rarr [a=b] vv [a=-b]$
Voglio dire, se due espressioni devono avere lo stesso valore assoluto, delle due l'una, le espressioni devono essere uguali oppure opposte. Inoltre:
"navigatore":
La prima sarà: $2cos(2x+pi/6)-1=0$, che vale quando: $2cos(2x+pi/6)>=0$
La seconda sarà: $-2cos(2x+pi/6)-1=0$, che vale quando: $2cos(2x+pi/6)<0$
In questo modo, dopo aver determinato le soluzioni, uno studente di esperienza e capacità medie andrà a verificare se le soluzioni ottenute soddisfano la disequazione corrispondente. Ovviamente, in questo caso, le soluzioni ottenute non possono non soddisfare la disequazione corrispondente. Tuttavia, sarebbe meglio farlo notare e argomentarlo. Infine:
"93felipe":
...però mi straniva il fatto che non avendo fatto le disequazioni goniometriche il mio libro proponeva esercizi dove avrei dovuto usarle.
Questa osservazione è più che pertinente. Se è possibile liberarsi dei valori assoluti mediante procedimenti logici che non coinvolgano le disequazioni, non si comprende per quale motivo non si dovrebbe farlo. Anche perchè, presumibilmente, il fine ultimo del docente che ha assegnato questi esercizi era quello di risolverli utilizzando l'aspetto intuitivo del problema, non la forza bruta di una discussione non necessaria.
Speculor :
Non so , e non mi riguarda , quale fosse il fine ultimo del docente . In Matematica è pericoloso parlare di "aspetto intuitivo" del problema . Ma non voglio innescare polemiche .
Per risolvere le due equazioni che Felipe ha proposto , non occorre risolvere alcuna disequazione , lo ripeto . Perciò l'osservazione di Felipe mi fa capire che qualcosa , circa il valore assoluto , gli sfugge ancora .
Una volta risolte le equazioni , non c'è alcun bisogno di andare a verificare alcuna disequazione . Semmai , trovati i due valori $x_1$ ed $x_2$ , se proprio si vuole , si può verificare che soddisfano le condizioni imposte sui valori assoluti : maggiore di zero , minore di zero . Ma si tratta di due numeri reali , non di diseqauzioni .
E io non ho adoperato alcuna "forza bruta" in una "discussione non necessaria" .
Questa osservazione è più che pertinente. Se è possibile liberarsi dei valori assoluti mediante procedimenti logici che non coinvolgano le disequazioni, non si comprende per quale motivo non si dovrebbe farlo. Anche perchè, presumibilmente, il fine ultimo del docente che ha assegnato questi esercizi era quello di risolverli utilizzando l'aspetto intuitivo del problema, non la forza bruta di una discussione non necessaria.
Non so , e non mi riguarda , quale fosse il fine ultimo del docente . In Matematica è pericoloso parlare di "aspetto intuitivo" del problema . Ma non voglio innescare polemiche .
Per risolvere le due equazioni che Felipe ha proposto , non occorre risolvere alcuna disequazione , lo ripeto . Perciò l'osservazione di Felipe mi fa capire che qualcosa , circa il valore assoluto , gli sfugge ancora .
Una volta risolte le equazioni , non c'è alcun bisogno di andare a verificare alcuna disequazione . Semmai , trovati i due valori $x_1$ ed $x_2$ , se proprio si vuole , si può verificare che soddisfano le condizioni imposte sui valori assoluti : maggiore di zero , minore di zero . Ma si tratta di due numeri reali , non di diseqauzioni .
E io non ho adoperato alcuna "forza bruta" in una "discussione non necessaria" .
@navigatore
Non si tratta di discutere sulla necessità di risolvere delle disequazioni, si tratta di procedere senza nemmeno menzionarle. Inoltre, per aspetto intuitivo del problema, non facciamo finta di non capire, intendevo questa mia giustificazione precedente: se due espressioni devono avere lo stesso valore assoluto, delle due l'una, le espressioni devono essere uguali oppure opposte, senza appesantire inutilmente il procedimento. Innescare polemiche su questioni relativamente semplici mi sembra fuori luogo. Tuttavia, anche a proposito di queste si può cogliere la maggiore eleganza e sinteticità di un procedimento rispetto ad un altro. Anzi, solo in questo ambito si può fare la differenza. Ecco, la cosa più importante è che almeno 93felipe sembra averla colta, con tutti i limiti della sua giovane età. E sono sicuro che molti altri lo fanno, semplicemente perchè non negano l'evidenza. Un'ultima osservazione: $[x>0]$ è una disequazione, semplice ma pur sempre una disequazione; invece, un numero reale $[x]$ è solo un numero reale, ma poi non si comprende come tu possa confrontarlo con lo zero senza introdurre il concetto di disequazione. Ti ricordo che una disequazione è semplicemente una disuguaglianza tra due membri, $[x>0]$ per l'appunto. E poi, la condizione non si impone sul valore assoluto, semmai sull'argomento del valore assoluto. Voglio dire, sarebbe come confondere la radice, il radicale, con il radicando, l'argomento della radice. Magari non te ne sei accorto ma il tuo ultimo intervento, a differenza degli altri due, eccessivamente pesanti ma formalmente corretti, è veramente molto approssimativo. Il fatto di essere in Secondaria II grado non significa che, per la semplicità degli esercizi, si possa argomentare a parole senza il rigore dovuto. Dal mio punto di vista è proprio il contrario.
Non si tratta di discutere sulla necessità di risolvere delle disequazioni, si tratta di procedere senza nemmeno menzionarle. Inoltre, per aspetto intuitivo del problema, non facciamo finta di non capire, intendevo questa mia giustificazione precedente: se due espressioni devono avere lo stesso valore assoluto, delle due l'una, le espressioni devono essere uguali oppure opposte, senza appesantire inutilmente il procedimento. Innescare polemiche su questioni relativamente semplici mi sembra fuori luogo. Tuttavia, anche a proposito di queste si può cogliere la maggiore eleganza e sinteticità di un procedimento rispetto ad un altro. Anzi, solo in questo ambito si può fare la differenza. Ecco, la cosa più importante è che almeno 93felipe sembra averla colta, con tutti i limiti della sua giovane età. E sono sicuro che molti altri lo fanno, semplicemente perchè non negano l'evidenza. Un'ultima osservazione: $[x>0]$ è una disequazione, semplice ma pur sempre una disequazione; invece, un numero reale $[x]$ è solo un numero reale, ma poi non si comprende come tu possa confrontarlo con lo zero senza introdurre il concetto di disequazione. Ti ricordo che una disequazione è semplicemente una disuguaglianza tra due membri, $[x>0]$ per l'appunto. E poi, la condizione non si impone sul valore assoluto, semmai sull'argomento del valore assoluto. Voglio dire, sarebbe come confondere la radice, il radicale, con il radicando, l'argomento della radice. Magari non te ne sei accorto ma il tuo ultimo intervento, a differenza degli altri due, eccessivamente pesanti ma formalmente corretti, è veramente molto approssimativo. Il fatto di essere in Secondaria II grado non significa che, per la semplicità degli esercizi, si possa argomentare a parole senza il rigore dovuto. Dal mio punto di vista è proprio il contrario.
E se dessimo una soluzione ancora più sintetica? Tutti gli angoli associati, e solo loro, hanno i seni uguali in valore assoluto: ne consegue che l'equazione
$|sin beta|=|sin alpha|$
ha come soluzione
$beta=+-alpha+2k pi \vv beta=pi+-alpha+2k pi$
Lo stesso vale per il coseno e la prima equazione può essere scritta nella forma
$|cos(2x+pi/6)|=|cos (pi/3)|$
$|sin beta|=|sin alpha|$
ha come soluzione
$beta=+-alpha+2k pi \vv beta=pi+-alpha+2k pi$
Lo stesso vale per il coseno e la prima equazione può essere scritta nella forma
$|cos(2x+pi/6)|=|cos (pi/3)|$
"giammaria":
E se dessimo una soluzione ancora più sintetica? Tutti gli angoli associati, e solo loro, hanno...
Ottima osservazione, non mi rimane che quotare la tua risoluzione.
"speculor":
Innescare polemiche su questioni relativamente semplici mi sembra fuori luogo.
Ecco , appunto . Mi sembra che la polemica la stia facendo tu . Perciò , ti invito a chiuderla qua .
"speculor":
Ecco, la cosa più importante è che almeno 93felipe sembra averla colta, con tutti i limiti della sua giovane età.
Veramente " simpatico" che " almeno felipe" abbia colto la differenza....Ora sì , che faccio finta di non capire !
"speculor":
Un'ultima osservazione: $[x>0]$ è una disequazione, semplice ma pur sempre una disequazione; invece, un numero reale $[x]$ è solo un numero reale, ma poi non si comprende come tu possa confrontarlo con lo zero senza introdurre il concetto di disequazione.
Non si comprende ? Bè , è semplice : l'insieme dei numeri reali è ordinato , no ? Prendo un numero reale qualsiasi , e vedo se è positivo o negativo . Tutto qua . Non ho parlato di disequazione , basta la "relazione di ordine" .
"speculor":
Ti ricordo che una disequazione è semplicemente una disuguaglianza tra due membri, $[x>0]$ per l'appunto..
Non sforzarti a "ricordarmi" qualcosa su equazioni e disequazioni , speculor . Se ho bisogno di rinfrescare qualche concetto , prendo un apposito libro e studio . Però quello che dici è inesatto : $5>3$ è una disequazione , per te ?
"speculor":
E poi, la condizione non si impone sul valore assoluto, semmai sull'argomento del valore assoluto...
Riguardati la definizione di "valore assoluto" di un numero reale che ho scritto nella prima risposta : è quella che tutti i libri di Matematica riportano , e riguarda per l'appunto quello che tu chiami " l'argomento" del valore assoluto.
"speculor":
Magari non te ne sei accorto ma il tuo ultimo intervento, a differenza degli altri due, eccessivamente pesanti ma formalmente corretti, è veramente molto approssimativo. Il fatto di essere in Secondaria II grado non significa che, per la semplicità degli esercizi, si possa argomentare a parole senza il rigore dovuto. Dal mio punto di vista è proprio il contrario.
Bè , questo è proprio il tuo capolavoro finale , speculor . " Interventi pesanti"....." interventi approssimativi"....." argomentare a parole senza il rigore dovuto ....." . Anche qui , faccio finta di nulla , sarà meglio ....
Speculor , ma ti ho fatto qualcosa ? Perchè ce l'hai con me?
Se non sbaglio , questa sezione ha come moderatori dei docenti di Matematica , giusto ? Ecco, mi farebbe piacere sentire la voce di qualcuno di loro , che innanzitutto riporti la definizione di "valore assoluto di numero reale " così come loro l'insegnano ai propri alunni , e chiariscano che senza avere questo concetto "in tasca" le equazion col valore assoluto non si risolvono, e infine dicano se io ho fatto interventi pesanti, approssimativi , e privi di rigore.
"navigatore":
Una volta risolte le equazioni , non c'è alcun bisogno di andare a verificare alcuna disequazione . Semmai , trovati i due valori $x_1$ ed $x_2$ , se proprio si vuole , si può verificare che soddisfano le condizioni imposte sui valori assoluti : maggiore di zero , minore di zero . Ma si tratta di due numeri reali , non di diseqauzioni .
"speculor":
Un'ultima osservazione: $[x>0]$ è una disequazione, semplice ma pur sempre una disequazione; invece, un numero reale $[x]$ è solo un numero reale, ma poi non si comprende come tu possa confrontarlo con lo zero senza introdurre il concetto di disequazione. Ti ricordo che una disequazione è semplicemente una disuguaglianza tra due membri, $[x>0]$ per l'appunto. E poi, la condizione non si impone sul valore assoluto, semmai sull'argomento del valore assoluto. Voglio dire, sarebbe come confondere la radice, il radicale, con il radicando, l'argomento della radice.
Bene, spero che almeno un moderatore abbia tempo da perdere per esprimere una sua opinione a proposito di questi due stralci. Francamente ne dubito. Tra parentesi, ti faccio notare che si può insegnare matematica anche senza essere dei moderatori. In quanto a polemiche, non mi sei certamente secondo. Con rammarico, noto che l'onestà intellettuale non ti appartiene. Sia il pubblico a giudicare, io mi fermo qui.
Speculor:
Fossi in te , io sarei molto più cauto nel fare considerazioni sulla mia "onestà intellettuale" . Di me tu non sai perfettamente nulla .
Non penso sia lecito accusare di "disonestà intellettuale" chicchessia . Attento a non travalicare i limiti della correttezza ( lo hai già fatto) .
A questo punto , visto che qui si può anche offendere liberamente le persone , chiedo espressamente l'intervento di un moderatore .
Speculor , non vuoi che partecipi più a questo forum ? Non hai che da dirmelo .
Anzi , me lo fai dire da un amministratore del forum , che cortesemente e pubblicamente vorrà spiegarne i motivi .
Con rammarico, noto che l'onestà intellettuale non ti appartiene. Sia il pubblico a giudicare, io mi fermo qui.
Fossi in te , io sarei molto più cauto nel fare considerazioni sulla mia "onestà intellettuale" . Di me tu non sai perfettamente nulla .
Non penso sia lecito accusare di "disonestà intellettuale" chicchessia . Attento a non travalicare i limiti della correttezza ( lo hai già fatto) .
A questo punto , visto che qui si può anche offendere liberamente le persone , chiedo espressamente l'intervento di un moderatore .
Speculor , non vuoi che partecipi più a questo forum ? Non hai che da dirmelo .
Anzi , me lo fai dire da un amministratore del forum , che cortesemente e pubblicamente vorrà spiegarne i motivi .
In effetti mi sono espresso male. Avrei dovuto dire che in questa discussione, ripetutamente, non hai dimostrato onestà intellettuale. Solo di questo mi scuso. Per quale motivo non ti vorrei in questo forum? Ho avuto modo di apprezzare i tuoi interventi in Fisica. Non lo dico per paura di essere sanzionato. Anche perchè, accusare qualcuno di disonestà intellettuale è solo un giudizio. Magari altri la pensano diversamente. Voglio dire, la libertà di giudizio prima di tutto. In ogni modo, scusami ancora se ho generalizzato.
"speculor":
In effetti mi sono espresso male. Avrei dovuto dire che in questa discussione, ripetutamente, non hai dimostrato onestà intellettuale. Solo di questo mi scuso. Per quale motivo non ti vorrei in questo forum? Ho avuto modo di apprezzare i tuoi interventi in Fisica. Non lo dico per paura di essere sanzionato. Anche perchè, accusare qualcuno di disonestà intellettuale è solo un giudizio. Magari altri la pensano diversamente. Voglio dire, la libertà di giudizio prima di tutto. In ogni modo, scusami ancora se ho generalizzato.
Va bene , accetto le scuse per la generalizzazione , perchè sono un "pacifico" , e quindi "erediterò la terra" , come disse un giovanotto 2000 anni fa nelle " beatitudini " ( almeno, sperio sia quella giusta ...non sono molto ferrato...)
Però insisti nel dire che "in questa discussione, ripetutamente, non hai dimostrato onestà intellettuale. Solo di questo mi scuso". Ecco , qui ancora non ci siamo , perchè sempre di mia presunta disonestà intellettuale parli , e a parte il termine usato che ritengo tuttora offensivo ( forse volevi dire che "prima ho detto una cosa e poi un'altra" , mettiamola così, altrimenti finiamo alle calende greche, e non è il caso ....), non vedo proprio dove io abbia agito come dici : sono stato sempre coerente nel dire che non occorre risolvere alcuna disequazione , ma solo ragionare sul significato del "valore assoluto" di un numero reale . ( vedi ulteriore esempio sotto)
Però ti invito a non confondere la " libertà di opinione" con la " libertà di giudizio" . Io posso avere di una persona tutte le opinioni che voglio , e le tengo per me . SE voglio esprimere una opinione , dico , ad esempio : " Penso che ti stia sbagliando ..." , oppure : " Scusa , non sono d'accordo con te..." , non gli dico certo : " Sei un disonesto intellettuale ! "
Ma da qui a esprimere un "giudizio" , ce ne vuole ! A volte non basta la prima ( e neanche la seconda) impressione, per giudicare. E poi , giudicare.... e di che , e perchè , e su quale reato , e dopo quale processo ?
Va bene , ripeto , incidente chiuso , sia pure con riserva .
ORa veniamo all'esempio che dicevo, giusto perchè qui leggono degli studenti , che devono capire come fare .
Supponi di avere un'equazione con valori assoluti , come questa : $ |a| + |b| + |c| = 0 $ , o magari anche più complicata , con espressioni frazionarie o altro . Immagina che $ a , b , c $ siano tre espressioni qualsiasi in funzione di una variabile $x$ , cioè : $ a = f(x) ; b = g(x) ; c = h(x) $ , che per ora non interessano .
Come fai a risolvere l'equazione $ |a| + |b| + |c| = 0 $ , se non fai le ipotesi corrette sui valori assoluti ?
Io ragiono cosi :
Supponiamo $a>0 $ Si possono avere 4 casi per $b$ e $c$ :
1) $b>0$ e $c>0$ . L'eq diventa : $ a + b +c = 0 $
2) $b>0 $ e $c<0$ . L'eq diventa : $ a + b - c = 0 $
3)$b<0$ e $c>0$ . L'eq diventa : $ a - b + c = 0 $
4)$b<0$ e $c<0$ . L'eq diventa : $ a - b - c = 0 $
Questo rientra nel detto di Monsieur de Lapalisse , che un minuto prima di morire era vivo !
Supponiamo invece che sia $a<0 $
Hai altre quattro condizioni , che però sono opposte alle precedenti 4 , e quindi non aggiungono nulla di nuovo ( provare per credere)
In definitiva , per risolvere : $ |a| + |b| + |c| = 0 $ , devi risolvere 4 equazioni, sostituendo ovviamentele espressioni di $a,b,c$ in funzione di $x$ .
Ecco ,io ragiono così . Mai parlato di disequazioni , qui . Una disuguaglianza : $ a>0$ non è una disequazione .
Se non sei d'accordo , e se hai un metodo alternativo , fammelo vedere .
"navigatore":
In definitiva , per risolvere : $ |a| + |b| + |c| = 0 $ , devi risolvere 4 equazioni, sostituendo ovviamentele espressioni di $a,b,c$ in funzione di $x$ .
Ecco ,io ragiono così . Mai parlato di disequazioni , qui . Una disuguaglianza : $ a>0$ non è una disequazione .
Se non sei d'accordo , e se hai un metodo alternativo , fammelo vedere .
Ciao navigatore, forse sono io che non ho capito il tuo esempio, ma alla domanda quanto devono valere a, b e c affinchè la somma dei loro valori assoluti sia 0 a me viene da rispondere 0 tutte e tre! a=0, b=0, c=0
Ciao navigatore. Premetto che mi sei sempre stato simpatico, sono sicuro che diventeremo buoni amici. Appena possibile, leggerò con la massima attenzione quello che hai scritto. A presto e grazie per aver accettato le mie scuse.
gio73 ,
ma ti pare che io mi sarei preso a coltellate con speculor , per una cosa che viene sempre zero ?
ma ti pare che io mi sarei preso a coltellate con speculor , per una cosa che viene sempre zero ?
Probabilmente, l'esempio che hai proposto non riflette le tue reali intenzioni, sarebbe bastato un solo segno negativo per renderlo più complesso. Nel tuo caso, l'unica possibile soluzione è quel valore dell'incognita, sempre che esista, che rende contemporaneamente nulli i tre argomenti dei valori assoluti. Insomma, gio73 ha ragione, sempre che intendesse mettere a sistema quelle tre equazioni. Ma siccome penso che tu volessi discutere il metodo generale, quando non è possibile fare altro, non c'è ombra di dubbio che discutere tutti gli argomenti sia l'unica soluzione. In ogni modo, quando affronto questi esercizi, la mia regola aurea è quella di evitare a tutti i costi quella discussione. Certo, non è sempre possibile, ma prima di procedere per forza bruta ci penso attentamente.
Ragazzi spero che non abbiate intenzione di continuare questo battibecco perché la cosa mi spiace molto. Ho avuto modo di osservare e apprezzare il lavoro di entrambi qui nel forum e sono certissima che se a risolvere l'esercizio foste stati uno di fronte all'altro, parlandovi, l'avreste risolto allo stesso modo o quasi. Il problema di quando si scrive è che le parole restano nel foglio come pietre e se i passaggi significativi sono sempre riportati anche per iscritto, manca tutta la parte di leggera riflessione che le potrebbe accompagnare.
Se avessi dovuto risovere quegli esercizi in classe avrei agito come speculor, poi avrei guardato la classe e se ci fosse stato anche un solo studente che guardava nel vuoto per non aver capito, avrei proceduto alla spiegazione con i passaggi canonici di navigatore per poi eliminare una per una le disequazioni "inutili" perché già comprese nel resto. Non sapendo le reazioni di 93felipe ognuno ha proceduto nel modo che credeva più opportuno.
Mi spiace che speculor abbia parlato di disonestà intellettuale. Spero che abbiate modo di chiarirvi al più presto.
Se avessi dovuto risovere quegli esercizi in classe avrei agito come speculor, poi avrei guardato la classe e se ci fosse stato anche un solo studente che guardava nel vuoto per non aver capito, avrei proceduto alla spiegazione con i passaggi canonici di navigatore per poi eliminare una per una le disequazioni "inutili" perché già comprese nel resto. Non sapendo le reazioni di 93felipe ognuno ha proceduto nel modo che credeva più opportuno.
Mi spiace che speculor abbia parlato di disonestà intellettuale. Spero che abbiate modo di chiarirvi al più presto.
Ciao @melia. Dopo le mie scuse, il battibecco era terminato. Stavamo discutendo pacificamente. Grazie dell'intervento.
@navigatore
Sono sicuro che consideri $[2x-1>x+3]$ una disequazione. Applicando il principio di equivalenza:
$[2x-1>x+3] rarr [x>4]$
Quindi, anche $[x>4]$ è una disequazione, ovvero, una disuguaglianza tra due membri.
@navigatore
Sono sicuro che consideri $[2x-1>x+3]$ una disequazione. Applicando il principio di equivalenza:
$[2x-1>x+3] rarr [x>4]$
Quindi, anche $[x>4]$ è una disequazione, ovvero, una disuguaglianza tra due membri.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo