Valore assoluto!

[masterfelixxx]

Qualcuno mi può spiegare per favore il concetto di valore assoluto? ho cercato ovunque, ma erano spiegazioni troppo lunghe e complicate, quella di wikipedia forse era più accettabile:
In matematica, il valore assoluto (o modulo) di un numero reale o di un numero complesso è una funzione che associa a un numero reale non negativo. Se x è un numero reale, il suo valore assoluto è x stesso se x è non negativo, e -x se x è negativo.
Ad esempio, il valore assoluto sia di 3 che di -3 è 3. Se è un numero complesso, il suo valore assoluto è la lunghezza del segmento nel piano complesso che ha per estremi l'origine e x.

Ma non riesco a capire nemmeno questa, ho capito solo che i numeri tra | | sono positivi anche se sono negativi o sbaglio?
c'è un modo per spiegare più semplicemente questa cosa e a cosa serve?

[Bad90]

Il valore assoluto di un numero negativo e' quel numero con il segno cambiato. Esempio se io ho $ |-3| $ Allora il suo valore assoluto sara' $ |-3|=3 $ , insomma si tratta di considerare un numero sempre positivo! Penso che per questo concetto, non ci sia molto da spiegare! Prendilo come un dogma di fede matematica!

[masterfelixxx]

"Bad90":Il valore assoluto di un numero negativo e' quel numero con il segno cambiato. Esempio se io ho $ |-3| $ Allora il suo valore assoluto sara' $ |-3|=3 $ , insomma si tratta di considerare un numero sempre positivo! Penso che per questo concetto, non ci sia molto da spiegare! Prendilo come un dogma di fede matematica!

Quindi tutti i numeri negativi dentro al valore assoluto sono positivi e quelli positivi sono sempre positivi? che cazzata allora

[Bad90]

Sostanzialmente si', il fatto che non ci sono incognite all'interno del valore assoluto, ti facilita la risposta, perche' hai un valore noto e quindi potrai dire che il valore assoluto di un numero negativo, e' quel numero cambiato di segno, mentre il valore assoluto di un numero positivo, e' se stesso! Se avessi un incognita, ti faccio un esempio, $ |x-3| $ , il discorso e' un po' piu' complesso, in quanto bisognerebbe considerare due casi, cioe' quando $ x>=0^^x<0 $ , ovviamente potrai porre $ |x-3|=0 $ , se si tratta di una equazione! Lasciamo stare se si tratta di una disequazione, non voglio confonderti!

[masterfelixxx]

"Bad90":Sostanzialmente si', il fatto che non ci sono incognite all'interno del valore assoluto, ti facilita la risposta, perche' hai un valore noto e quindi potrai dire che il valore assoluto di un numero negativo, e' quel numero cambiato di segno, mentre il valore assoluto di un numero positivo, e' se stesso! Se avessi un incognita, ti faccio un esempio, $ |x-3| $ , il discorso e' un po' piu' complesso, in quanto bisognerebbe considerare due casi, cioe' quando $ x>=0^^x<0 $ , ovviamente potrai porre $ |x-3|=0 $ , se si tratta di una equazione! Lasciamo stare se si tratta di una disequazione, non voglio confonderti!

beh io faccio le disequazioni anche... comunque |x-3| non sarà positivo?

[Bad90]

Io la penso dicendo che se si ha una incognita all'interno di un valore assoluto, come la parola stessa dice "incognita", non di certo potro' dire con certezza che e' positiva o negativa, poi la parola stessa dice che e' una incognita x.... Dovrai considerare per forza due ipotesi, sia se e' una equazione sia se si tratta di una disequazione!

[masterfelixxx]

"Bad90":Io la penso dicendo che se si ha una incognita all'interno di un valore assoluto, come la parola stessa dice "incognita", non di certo potro' dire con certezza che e' positiva o negativa, poi la parola stessa dice che e' una incognita x.... Dovrai considerare per forza due ipotesi, sia se e' una equazione sia se si tratta di una disequazione!

ah va bene ma pensavo che qualunque numero sostituito a x fosse positivo dentro li

[Bad90]

Resta il fatto che se ho $ |x-3|=0 $ questa equazione ha l'unica soluzione che e' $ |x-3|=0=>x=3 $

[masterfelixxx]

"Bad90":Resta il fatto che se ho $ |x-3|=0 $ questa equazione ha l'unica soluzione che e' $ |x-3|=0=>x=3 $

ah capisco quindi è 0 lì, ma io non ho capito a cosa serve la scrittura del valore assoluto nelle equazioni, per specificare che quello che c'è all'interno è positivo?

[Kashaman]

"Bad90":Io la penso dicendo che se si ha una incognita all'interno di un valore assoluto, come la parola stessa dice "incognita", non di certo potro' dire con certezza che e' positiva o negativa, poi la parola stessa dice che e' una incognita x.... Dovrai considerare per forza due ipotesi, sia se e' una equazione sia se si tratta di una disequazione!

Bad, senza offesa, ma non si capisce cosa vuoi dire.
facciamo un poco di chiarezza, definiamo le cose come sono per piacere. Non ci sta manco un dogma.
E per piacere distinguiamo "valore assoluto" di un numero con il modulo di un numero complesso. sono due cose diverse.
definizione (1)
se $x in RR$ si definisce il valore assoluto di $x$ al seguente modo.
$|x|=max{x.-x}$ , con $max$ si intende "massimo".

esempio :
$|3|=max{3,-3}=3 , |-3|=max{3,-3}=3$
In termini più rozzi il valore assoluto "tronca" un numero del suo segno. "Trasformandolo" da negativo a positivo o lasciandolo positivo se il numero è positivo.
Ma la vera definizione, è la definizione (1) che ti chiedo veramente di cercar di comprendere.
definizione 2 (modulo di un numero complesso)
Sia $CC$ il campo dei numeri complessi. $z=a+bi in CC$ con $a,b in RR$
si definisce il modulo di $z$
e lo si indica con $|z|=\sqrt(a^2+b^2)$

anche qui, nulla di fantascientifico.
Un numero complesso è possibile rappresentarlo su un particolare piano cartesiano, chiamato piano di Argand-Gauss, in termini di "segmento" , tale modulo rappresenta la LUNGHEZZA di tale segmento.

come ben puoi notare, sono concetti COMPLETAMENTE diversi.
Il primo si riferisce ad un massimo di un'insieme, l'altro ad una lunghezza. (se ben noti, la formula che ti consente di calcolarti il modulo di numero complesso dovrebbe ricordarti un famoso teorema, quale?).
Si chiamano in maniera analoga, forse, perché entrambi restituiscono valori "positivi"
Spero di esser stato esaustivo, ciao!
se hai dubbi chiedi.

[Bad90]

Se hai un valore assoluto, ed hai una equazione un po piu' complessa di quella che hi fatto come esempio, dovrai si considerare un valore sempre positivo, perche' il concetto del valore assoluto e' proprio quello, solo che docrai considerare il campo di esistenza cioe' quando quella equazione avra' valore positivo! Si intende creare un grafico e trovare dove l'equazione sara' positiva, quindi dove e' sempre $ + $ , cioè positiva! Dovrai creare un sistema e la soluzione sarà data dall'unione dei due casi!

[Bad90]

Grazie krasman, per aver fatto chiarezza, ho cercato di fare il mio meglio, non volevo creare confusione!

[Kashaman]

"Bad90":Grazie krasman, per aver fatto chiarezza, ho cercato di fare il mio meglio, non volevo creare confusione!

hai fatto benissimo Bad e ti stimo, continua sempre così
bisogna sempre cercare di aiutarsi l'un l'altro, il sapere va condiviso
non preoccuparti che non hai fatto danni. Ho solo precisato alcune cosette.

[Bad90]

Ok! Mi fa piacere lo spirito di squadra! Grazie ancora!

[masterfelixxx]

Sei stato esaustivo grazie ma non sono a livello di comprendere tali cose xD ho paura di non esserci arrivato ancora

[giammaria2]

Vediamo le cose in modo facile, lasciando da parte le rigorose precisazioni di Kashaman. Non è un dogma ma una definizione: si dice valore assoluto di un numero quel numero preso col segno più: ad esempio $|7|=7$ e $|-5|=5$. Il numero di partenza può avere qualsiasi segno ma il risultato è sempre positivo.
Trashmob, ti chiedi a cosa serve il valore assoluto. Facciamo un esempio: in una cassa c'è un peso da 10 chili e in un'altra un peso x; vogliamo sapere che peso aggiungere nella cassa più leggera perché pesino egualmente. Devo fare la differenza fra i due valori ma non so in che ordine: dipende dal fatto che x sia maggiore o minore di 10. Se però sbagliassi l'ordine avrei comunque il numero quasi giusto, solo col segno meno, e mi basta cambiarlo di segno, quindi posso dire che il peso da aggiungere è \(\displaystyle |x-10| \). Controlla con due valori di x, uno maggiore e uno minore di 10 e vedrai che il risultato è quello voluto.
In generale il valore assoluto si usa quando vogliamo fare una differenza ma non sappiamo in che ordine, volendo che il risultato sia positivo.
Continuiamo col nostro esempio e notiamo due casi:
- se \(\displaystyle x>10 \), allora \(\displaystyle |x-10|=x-10 \);
- se \(\displaystyle x<10 \), allora \(\displaystyle |x-10|=10-x=-x+10 \)
Nel caso x=10 entrambe le formule danno il giusto valore zero quindi in una delle formule (o, se vuoi, in entrambe) aggiungi l'uguale. Analizziamo i due risultati anche sotto un'altra angolatura: il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se questo è positivo; se invece è negativo occorre cambiarlo di segno.
Nel mio esempio x era un peso e quindi certo positivo ma in altri problemi x potrebbe anche essere negativo; quello che interessa non è il segno di x ma quello del numero dentro il valore assoluto, Ad esempio, volendo \(\displaystyle |x+2| \) la distinzione è:
- se $x>=-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=x+2 \);
- se $x<-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=-x-2 \)

[Bad90]

Tranne quel fatto del dogma matematico, era ciò che volevo dire!

[masterfelixxx]

"giammaria":Vediamo le cose in modo facile, lasciando da parte le rigorose precisazioni di Kashaman. Non è un dogma ma una definizione: si dice valore assoluto di un numero quel numero preso col segno più: ad esempio $|7|=7$ e $|-5|=5$. Il numero di partenza può avere qualsiasi segno ma il risultato è sempre positivo.
Trashmob, ti chiedi a cosa serve il valore assoluto. Facciamo un esempio: in una cassa c'è un peso da 10 chili e in un'altra un peso x; vogliamo sapere che peso aggiungere nella cassa più leggera perché pesino egualmente. Devo fare la differenza fra i due valori ma non so in che ordine: dipende dal fatto che x sia maggiore o minore di 10. Se però sbagliassi l'ordine avrei comunque il numero quasi giusto, solo col segno meno, e mi basta cambiarlo di segno, quindi posso dire che il peso da aggiungere è \(\displaystyle |x-10| \). Controlla con due valori di x, uno maggiore e uno minore di 10 e vedrai che il risultato è quello voluto.
In generale il valore assoluto si usa quando vogliamo fare una differenza ma non sappiamo in che ordine, volendo che il risultato sia positivo.
Continuiamo col nostro esempio e notiamo due casi:
- se \(\displaystyle x>10 \), allora \(\displaystyle |x-10|=x-10 \);
- se \(\displaystyle x<10 \), allora \(\displaystyle |x-10|=10-x=-x+10 \)
Nel caso x=10 entrambe le formule danno il giusto valore zero quindi in una delle formule (o, se vuoi, in entrambe) aggiungi l'uguale. Analizziamo i due risultati anche sotto un'altra angolatura: il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se questo è positivo; se invece è negativo occorre cambiarlo di segno.
Nel mio esempio x era un peso e quindi certo positivo ma in altri problemi x potrebbe anche essere negativo; quello che interessa non è il segno di x ma quello del numero dentro il valore assoluto, Ad esempio, volendo \(\displaystyle |x+2| \) la distinzione è:
- se $x>=-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=x+2 \);
- se $x<-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=-x-2 \)

Ok penso di aver capito grazie, ma non ho capito perché - se \(\displaystyle x<10 \), allora \(\displaystyle |x-10|=10-x=-x+10 \)
- se $x>=-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=x+2 \);
- se $x<-2$, allora \(\displaystyle |x+2|=-x-2 \)
puoi spiegare meglio questi passaggi che non mi tornano?

[giammaria2]

Se x è più piccolo di 10, x-10 è negativo e per averne il valore assoluto dobbiamo cambiarlo di segno; è quello che ho fatto. Proviamo a controllare con un numero, ad esempio con $x=6$: allora
$|x-10|=|6-10|=|-4|=4$
che è proprio quello che si ottiene facendo $10-6$.
Lo stesso per $x<-2$, ad esempio $x=-7$:
$|x+2|=|-7+2|=|-5|=5$
e, per l'appunto, $-x-2=-(-7)-2=7-2=5$.

Ripeto la regola:
- se un numero è positivo (o nullo) il suo valore assoluto è uguale al numero;
- se un numero è negativo (o nullo) il suo valore assoluto è uguale al numero cambiato di segno, cioè preceduto da un segno meno.

[Bad90]

Ho un dubbio su quanto segue....
Se ho l'espressione del tipo:

$ |x|0 $ la $ x $ puo' assumere tutti i valori reali compresi tra $ a $ e $ -a $ , il testo scrive infatti che $ -a
Mi servirebbe un esempio per capire questo! Detta cosi' non riesco a comprenderla!

Potreste gentilmente aiutarmi con un esempio?
Grazie mille!

[Kashaman]

esempio :
$|x|<2$ ne segue allora $-2

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