V postulato di Euclide
E' noto che ogni tanto qualcuno decide arbitrariamente che si tratta di un teorema e cerca di dimostrarlo, cadendo inevitabilmente in errori di logica dimostrativa. Esempi se ne trovano anche sui libri testo di matematica per le superiori.
Tuttavia su un libro di testo ho trovato una dimostrazione della sola esistenza di rette parallele perchè, data una retta e un punto esterno, sarebbe assurdo che una retta passante per quel punto esterno risulti perpendicolare sia alla retta data che alla retta "presunta" incidente alla retta data e passante per quel punto, e questo in base all'unicità della perpendicolare passante per un punto esterno (dico "presunta" incidente perchè la retta è parallela alla retta data ma per assurdo si presume che la incontri in un punto molto lontano).
Dopodichè si enuncia il 5° postulato di Euclide dicendo semplicemente che in base ad esso
"La retta passante per un punto e parallela a una retta data è unica."
Solo che in questo enunciato è inclusa implicitamente anche l'esistenza di almeno una retta parallela, quindi risulta un po' sibillino.
Si può dimostrare un teorema sull'esistenza di rette parallele per assurdo? Infatti tale dimostrazione consiste nel negare la tesi, ma si può avanzare una tesi di parallelismo fra rette prima di aver deciso se accolgo o meno il V postulato di Euclide, cioè prima di aver chiarito se opero in ambito di geometria euclidea o di geometrie non euclidee?
Tuttavia su un libro di testo ho trovato una dimostrazione della sola esistenza di rette parallele perchè, data una retta e un punto esterno, sarebbe assurdo che una retta passante per quel punto esterno risulti perpendicolare sia alla retta data che alla retta "presunta" incidente alla retta data e passante per quel punto, e questo in base all'unicità della perpendicolare passante per un punto esterno (dico "presunta" incidente perchè la retta è parallela alla retta data ma per assurdo si presume che la incontri in un punto molto lontano).
Dopodichè si enuncia il 5° postulato di Euclide dicendo semplicemente che in base ad esso
"La retta passante per un punto e parallela a una retta data è unica."
Solo che in questo enunciato è inclusa implicitamente anche l'esistenza di almeno una retta parallela, quindi risulta un po' sibillino.
Si può dimostrare un teorema sull'esistenza di rette parallele per assurdo? Infatti tale dimostrazione consiste nel negare la tesi, ma si può avanzare una tesi di parallelismo fra rette prima di aver deciso se accolgo o meno il V postulato di Euclide, cioè prima di aver chiarito se opero in ambito di geometria euclidea o di geometrie non euclidee?
Risposte
Effettivamente l'esistenza del parallelismo fra rette si può dimostrare con un teorema, e quello citato non è l'unico.
Tuttavia occorre sempre appoggiarsi ad un assioma. Ad esempio potrei dimostrare che due rette, che formano con una trasversale angoli alterni interni uguali, sono parallele perchè esiste l'assioma dell'esistenza e dell'unicità di un angolo formato da due semirette aventi la stessa origine. Lo stesso V postulato di Euclide nella sua formulazione originale sfruttava la caratteristica degli angoli coniugati interni di essere supplementari, dicendo che in caso di non parallelismo le due rette si incontrano dalla parte in cui la loro somma risulta minore di 180°.
In definitiva ci si imbatte nel complesso problema del sistema minimo di postulati e risulta pertanto inevitabile avere un sistema sovrabbondante di assiomi, anche per evitare che questo risulti incompleto.
Un sistema di assiomi infatti deve rispondere ai tre requisiti fondamentali di completezza, indipendenza e coerenza. Insomma la sovrabbondanza dei postulati è ammessa, quindi tanto vale far rientrare tra i postulati anche l'esistenza del parallelismo, non fosse altro che per il che fatto tra le geometrie non euclidee vi è anche quella che nega l'esistenza del parallelismo, quindi
considerare l'esistenza del parallelismo un teorema equivarrebbe a negare totalmente la validità di tale geometria, mentre la vera differenza sta proprio nel sistema di assiomi, non nella logica dimostrativa dei teoremi che è la stessa universalmente accettata.
In ultima analisi si tratta solo di aver formulato già il V postulato in qualche modo in un precedente assioma, ed è poi questo assioma che viene accettato o meno.
Tuttavia occorre sempre appoggiarsi ad un assioma. Ad esempio potrei dimostrare che due rette, che formano con una trasversale angoli alterni interni uguali, sono parallele perchè esiste l'assioma dell'esistenza e dell'unicità di un angolo formato da due semirette aventi la stessa origine. Lo stesso V postulato di Euclide nella sua formulazione originale sfruttava la caratteristica degli angoli coniugati interni di essere supplementari, dicendo che in caso di non parallelismo le due rette si incontrano dalla parte in cui la loro somma risulta minore di 180°.
In definitiva ci si imbatte nel complesso problema del sistema minimo di postulati e risulta pertanto inevitabile avere un sistema sovrabbondante di assiomi, anche per evitare che questo risulti incompleto.
Un sistema di assiomi infatti deve rispondere ai tre requisiti fondamentali di completezza, indipendenza e coerenza. Insomma la sovrabbondanza dei postulati è ammessa, quindi tanto vale far rientrare tra i postulati anche l'esistenza del parallelismo, non fosse altro che per il che fatto tra le geometrie non euclidee vi è anche quella che nega l'esistenza del parallelismo, quindi
considerare l'esistenza del parallelismo un teorema equivarrebbe a negare totalmente la validità di tale geometria, mentre la vera differenza sta proprio nel sistema di assiomi, non nella logica dimostrativa dei teoremi che è la stessa universalmente accettata.
In ultima analisi si tratta solo di aver formulato già il V postulato in qualche modo in un precedente assioma, ed è poi questo assioma che viene accettato o meno.
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