URGENTE ESERCIZIO SUI PUNTI DI FLESSO

[array1]

verificare che i punti di flesso della funzione y=x*(sen(x)) appartengono alla curva di equazione (y^2)(4+x^2)=4x^2

aiutatemi a risolvere questo esercizio

[_Tipper]

Intanto calcola la derivata seconda.

[array1]

l'ho fatto ma il problema è che
la derivata seconda è
y=2cos(x)-x(sen(x)
e da li nn so come andare avanti a calcolare dove si annulla

[_Tipper]

Io farei così: la funzione iniziale è $y=x \sin(x)$, mentre la curva che ti viene data ha equazione $y^2 = \frac{4x^2}{4+x^2}$.
I punti di flesso sono gli zeri della derivata seconda, dato che i punti per cui $\sin(x)=0$ non lo sono, i punti che azzerano la derivata seconda si possono scrivere come

$\frac{x}{2} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, $x = 2 \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Andando a sostituire nella curva data si ottiene

$(x \sin(x))^2 = \frac{4x^2}{4 + 4 \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}$

da cui semplificando

$x^2 \sin^2(x) = \frac{x^2}{1 + 1 \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}$

cioè

\sin^2(x) = \frac{1}{\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}}$

questa è un'identità, perciò è stato verificato quanto richiesto.