Urgente circonferenza - geometria analitica (217173)

[fabio rapeti]

Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine degli assi ed è tangente alla retta "x-2y-1=0" nel punto di ascisse "x=2"

[mc2]

Equazione della circonferenza generica passante per l'origine:

[math]x^2+y^2+ax+by=0[/math]

retta:

[math]x-2y-1=0[/math]

La circonferenza deve essere tangente alla retta data nel punto P: vuol dire che anche la circonferenza deve passare per il punto P, e le coordinate di questo punto si ricavano dall'equazione della retta:

[math]P(2,\frac{1}{2})[/math]

Impongo il passaggio per P:

[math]4+\frac{1}{4}+2a+\frac{1}{2}b=0[/math]

[math]b=-4a-\frac{17}{2}[/math]

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e della circonferenza: occorrera` imporre che l'unica soluzione sia il punto P (condizione di tangenza)

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=2y+1 \\
x^2+y^2+ax+by=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]4y^2+4y+1+y^2+2ay+a+by=0[/math]

[math]5y^2+(4+2a+b)y+1+a=0[/math]

questa equazione deve avere due soluzioni coincidenti (il punto P), quindi il suo

[math]\Delta[/math]

deve essere 0:

[math](4+2a+b)^2-20(1+a)=0[/math]

Sostituendo la relazione trovata prima

[math]b=-4a-\frac{17}{2}[/math]

e facendo un po' di calcoli si arriva a

[math]16a^2-8a+1=0[/math]

che ammette la soluzione

[math]a=\frac{1}{4}[/math]

quindi

[math]b=-4a-\frac{17}{2}=-\frac{19}{2}[/math]

e la circonferenza richiesta e`

[math]x^2+y^2+\frac{1}{4}{x}-\frac{19}{2}y=0[/math]

[fabio rapeti]

Grazie