Urge parere professionale .
La divisione tra naturali è di per sè una divisione ripetuta.
Ciò trova fondamento nel Teorema del quoziente :
dati due naturali $n$ ed $m$, con $n > m$, esistono e sono unici due naturali $q$ ed $r$ tali che $n = m*q + r$ , con $0 <= r < m$, dove $q$ dicesi appunto quoziente ed $r$ resto.
Ciò è equivalente ad affermare che $n - q -q -.... -q $ (m volte) $= r$ (il resto della divisione) e, in particolare, se $m$ è divisibile per $n$, allora $r=0$.
Ne segue che se prendo un numero $c=p*q*z $ allora risulta che $(c+q) – p*q*z = q$ ;
tuttavia possa esprimere , anche se è una tautologia , il concetto nel modo seguente :
pongo $m= q*z$ ed effettuo un procedimento algoritmico trattando $N$ come un dominio euclideo , ossia
si ha che $(c+q) - p -p -.... -p$ ($m=q*z$ volte) $= q$
Vorrei formalizzare meglio tale concetto "giustificandolo" meglio ed in particolare vorrei definire e formalizzare meglio l'ultimo ed il penultimo passaggio di tale procedimento sottrattivo .
Esempio numerico
$3*17=51$
$51+17=68$
$68 - 3-3-3-3-3- -3$(17 volte)$=17$
Ultimo passaggio sottrativo $20-3=17$
Penultimo passaggio sottrativo $23-3=20$
DEFINIZIONE 1(ultimo passaggio).
Siano $n$ ed $m$ due interi positivi, con $n > m$.
Sia $q$ il numero di volte che è necessario sottrarre $m$ da $n$ fino ad ottenere un intero non negativo $r$
tale che $r < m$.
La q-esima sottrazione effettuata in tale procedimento è l'ultimo passaggio della divisione sottrattiva.
Il risultato dell'ultimo passaggio della divisione di sottrattivo è proprio l'intero $r$.
DEFINIZIONE 2( penultimo passaggio).
Siano $n$ ed $m$ due interi positivi, con $n > m$.
Sia $q$ il numero di volte che è necessario sottrarre $m$ da $n$ fino ad ottenere un intero non negativo $r$
tale che $r < m$.
La q-1 esima sottrazione effettuata in tale procedimento è il penultimo passaggio della divisione sottrattiva.
Il risultato penultimo passaggio della divisione di sottrattivo è l'ultimo passaggio sottrattivo .
Mi date una mano ? grazie
Ciò trova fondamento nel Teorema del quoziente :
dati due naturali $n$ ed $m$, con $n > m$, esistono e sono unici due naturali $q$ ed $r$ tali che $n = m*q + r$ , con $0 <= r < m$, dove $q$ dicesi appunto quoziente ed $r$ resto.
Ciò è equivalente ad affermare che $n - q -q -.... -q $ (m volte) $= r$ (il resto della divisione) e, in particolare, se $m$ è divisibile per $n$, allora $r=0$.
Ne segue che se prendo un numero $c=p*q*z $ allora risulta che $(c+q) – p*q*z = q$ ;
tuttavia possa esprimere , anche se è una tautologia , il concetto nel modo seguente :
pongo $m= q*z$ ed effettuo un procedimento algoritmico trattando $N$ come un dominio euclideo , ossia
si ha che $(c+q) - p -p -.... -p$ ($m=q*z$ volte) $= q$
Vorrei formalizzare meglio tale concetto "giustificandolo" meglio ed in particolare vorrei definire e formalizzare meglio l'ultimo ed il penultimo passaggio di tale procedimento sottrattivo .
Esempio numerico
$3*17=51$
$51+17=68$
$68 - 3-3-3-3-3- -3$(17 volte)$=17$
Ultimo passaggio sottrativo $20-3=17$
Penultimo passaggio sottrativo $23-3=20$
DEFINIZIONE 1(ultimo passaggio).
Siano $n$ ed $m$ due interi positivi, con $n > m$.
Sia $q$ il numero di volte che è necessario sottrarre $m$ da $n$ fino ad ottenere un intero non negativo $r$
tale che $r < m$.
La q-esima sottrazione effettuata in tale procedimento è l'ultimo passaggio della divisione sottrattiva.
Il risultato dell'ultimo passaggio della divisione di sottrattivo è proprio l'intero $r$.
DEFINIZIONE 2( penultimo passaggio).
Siano $n$ ed $m$ due interi positivi, con $n > m$.
Sia $q$ il numero di volte che è necessario sottrarre $m$ da $n$ fino ad ottenere un intero non negativo $r$
tale che $r < m$.
La q-1 esima sottrazione effettuata in tale procedimento è il penultimo passaggio della divisione sottrattiva.
Il risultato penultimo passaggio della divisione di sottrattivo è l'ultimo passaggio sottrattivo .
Mi date una mano ? grazie
Risposte
La mia impressione generale è che si rientri nel CCCS (=Come Complicare Cose Semplici); l'unica ipotesi che riesco a formulare è che si tratti di un esercizio iniziale, forse propedeutico a qualcosa di Teoria dei Numeri. Se è così, ti prego di dirlo e provvederò a spostare il tuo thread nella sede opportuna.
"giammaria":
La mia impressione generale è che si rientri nel CCCS (=Come Complicare Cose Semplici)
Ho letto il post oggi pomeriggio e ho pensato la stessa cosa
"giammaria":
La mia impressione generale è che si rientri nel CCCS (=Come Complicare Cose Semplici)
Più che altro ho avuto questo sospetto dal fatto che - per quello che ho capito (ma potrei sbagliarmi) - per gran parte del messaggio si ripete sempre la stessa cosa che è data come definizione all'inizio.
L'unica cosa che mi è venuta in mente rileggendo questo messaggio [size=80](ho lasciato perdere la juve che stasera non è aria e è un'ora che sto rigirando il tuo post
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
)[/size] è la seguente (faccio un pizzico di preambolo).Hai $m,n$ interi (positivi), con $n>m$.
Ora, per il teorema del quoziente e del resto (si chiama così?) sai e dici che
$n= m\cdot q + r$
- $q$ è il quoziente ed è un intero positivo
- $r$ è il resto ed è intero e tale che $0\le r
Ok, fine preludio.
Tu dici spesso che
$n - m - m - m -...-m=r$
dove $m$ si sottrae $q$ volte, e questo è abbastanza logico proprio per definizione di moltiplicazione ($m\cdot q$ è una somma di $q$ termini tutti $m$).
Dopodiché parli di penultimo passaggio sottrattivo/ultimo passaggio sottrattivo e non ci ho capito granché. Però, come ho detto all'inizio, secondo me vuoi dimostrare quello che ora scrivo (mi riferisco soprattutto alla definizione 1).
Prima di arrivare alla fine, cioè alla penultima sottrazione, tu hai sottratto $q-1$ volte $m$ e ottieni
$n- m-m-...-m= n-m(q-1) = n-m(q-1)-m+m= n-mq+m= n-mq+m=r+m$
che, se ho capito quello che dici, dimostra tutto perché se sottrai un'altra volta $m$ ottieni $r$ dove quest'altra sottrazione è proprio l'ultima di cui parli.
Ricordo che $n-mq=r$ proprio per definizione di quoziente/resto detta all'inizio...
PS.
Mentre scrivevo il messaggio (la mia linea fa pena, ho iniziato alle 22.20!) ho visto in varie anteprime che hanno scritto giammaria - del quale ho quotato la frase - e ora Pianoth (saluto entrambi
).Però nessuno dei due ha provato a rispondere in senso tecnico quindi non serve che cancello quello che ho scritto
.
si zero è come dici tu , solo che io non voglio dimostrarlo ma solo dargli una definizione formale sia :
1) all'ultimo passaggio
2) al penultimo passaggio
della sottrazione ripetuta .
1) all'ultimo passaggio
2) al penultimo passaggio
della sottrazione ripetuta .
hai ragione prof.
@Stellinelm.
Ammesso per già dimostrato che $NN$,con l'usuale relazione d'ordine,è un insieme ben ordinato
(i.e. ogni suo sottoinsieme non vuoto è dotato di minimo assoluto rispetto a siffata relazione d'ordinamento totale),
ti basterà considerare
(mi limito al tuo esempio,
ma il discorso è facilmente estendibile a qualunque coppia $(n,d) in NN_0 times (NN_0 setminus {0})$ anche se $n
dettone $m'$ il minimo assoluto(nel caso in esame $m'=4$..),
poni per definizione $q(53,17)=m'-1,r(53,17)=53-q(53,17)*17$ ed i tuoi dubbi,se li ho intesi bene,
dovrebbero risolversi.
Saluti dal web.
(*)La vera difficoltà ed anomalia di quest'approccio stà nel dimostrare,nel caso generale,che $A ne emptyset$:
credo sia una delle ragioni per le quali s'è scelto,per introdurre i concetti di quoziente e resto d'una divisione,
l'approccio classico.
Ammesso per già dimostrato che $NN$,con l'usuale relazione d'ordine,è un insieme ben ordinato
(i.e. ogni suo sottoinsieme non vuoto è dotato di minimo assoluto rispetto a siffata relazione d'ordinamento totale),
ti basterà considerare
(mi limito al tuo esempio,
ma il discorso è facilmente estendibile a qualunque coppia $(n,d) in NN_0 times (NN_0 setminus {0})$ anche se $n
dettone $m'$ il minimo assoluto(nel caso in esame $m'=4$..),
poni per definizione $q(53,17)=m'-1,r(53,17)=53-q(53,17)*17$ ed i tuoi dubbi,se li ho intesi bene,
dovrebbero risolversi.
Saluti dal web.
(*)La vera difficoltà ed anomalia di quest'approccio stà nel dimostrare,nel caso generale,che $A ne emptyset$:
credo sia una delle ragioni per le quali s'è scelto,per introdurre i concetti di quoziente e resto d'una divisione,
l'approccio classico.
grazie Theras : apprezzo il tuo intervento 
Ti faccio un esemipo numerico :
$20 = 17 + 3$ coppia di goldbach
$m=17*3+3=54$
$54-17=37$
$37-17=20$ penultimo passaggio
$20-17=3$ ultimo passaggio ,
uguale alla coppia di Goldbach poichè $20-17=3$ -> $20=17+3$
banale ? si ! ... ma mi serve una definizione formale dell'ultimo e penultimo passaggio di questo procedimento sottrattivo ripetuto
Ti faccio un esemipo numerico :
$20 = 17 + 3$ coppia di goldbach
$m=17*3+3=54$
$54-17=37$
$37-17=20$ penultimo passaggio
$20-17=3$ ultimo passaggio ,
uguale alla coppia di Goldbach poichè $20-17=3$ -> $20=17+3$
banale ? si ! ... ma mi serve una definizione formale dell'ultimo e penultimo passaggio di questo procedimento sottrattivo ripetuto
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