Unione, intersezione di insiemi

[Dragonlord]

Stavo ragionando su queste domande:

a. \(\displaystyle \mathbb{N} \cap \mathbb{Q} \)
b. \(\displaystyle ( \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q}) \cup ( \mathbb{N} \cap \mathbb{I}) \)
c. \(\displaystyle \mathbb{R} \cap \mathbb{Q} \)
d. \(\displaystyle \mathbb{I} \cap \mathbb{Q} \)
e. \(\displaystyle (\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}) \cap (\mathbb{I} \cup \mathbb{Z}) \)
f. \(\displaystyle \mathbb{I} \cup \mathbb{Q} \)
g. \(\displaystyle \mathbb{Q} \cup \mathbb{Z} \)

A cui ho dato le seguenti risposte:

a. \(\displaystyle \mathbb{N} \), infatti gli elementi comuni ai due insiemi ovviamenti sono solo i numeri naturali;

b. \(\displaystyle \mathbb{Z} \), la prima intersezione dà l'insieme degli interi, il più piccolo dei due, la seconda dà l'insieme dei naturali, infine l'unione degli interi e dei naturali restituisce l'insieme degli interi;

c. \(\displaystyle \mathbb{Q} \), elementi comuni = il più piccolo dei due, cioè quello dei razionali;

d. \(\displaystyle \mathbb{\emptyset} \), i due insiemi sono disgiunti, quindi l'intersezione è vuota;

e. \(\displaystyle \mathbb{Z} \), la prima unione fa l'insieme dei razionali, la seconda... sostanzialmente è \(\displaystyle \mathbb{R}-\mathbb{Q} \), quindi l'unione è tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \)?

f. \(\displaystyle \mathbb{R} \), l'unione dei razionali e degli irrazionali è l'insieme dei reali;

g. \(\displaystyle \mathbb{Q} \), qui dovrebbe essere \(\displaystyle \mathbb{R}-\mathbb{I} \)?

Legenda: \(\displaystyle \mathbb{N} \) = naturali, \(\displaystyle \mathbb{Z} \) = interi, \(\displaystyle \mathbb{Q} \) = razionali, \(\displaystyle \mathbb{I} \) = irrazionali, \(\displaystyle \mathbb{R} \) = reali.

Gli irrazionali mi mettono in difficoltà. Di solito non lo definisco quell'insieme ma passo direttamente a quello dei reali.

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Caricare immagini quando non necessario rende, sul lungo periodo, illeggibili i thread.

Riaprirò se e quando Dragonlord deciderà di scrivere in chiaro e con le formule il problema, proponendo anche il suo ragionamento.[/xdom]

[Dragonlord]

Modificato, ho messo anche un pò di motivazioni

[Pierlu11]

L'insieme dei numeri irrazionali è semplicemente $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
Le risposte sono tutte corrette tranne la (e), mi pare ci sia un'intersezione da fare.

[ghira1]

"Dragonlord":
e. \(\displaystyle (\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}) \cap (\mathbb{I} \cup \mathbb{Z}) \)

e. \(\displaystyle \mathbb{Z} \), la prima unione fa l'insieme dei razionali, la seconda... sostanzialmente è \(\displaystyle \mathbb{R}-\mathbb{Q} \), quindi l'unione è tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \)?

La risposta è $\mathbb{Z}$, sì, ma la seconda unione non è $\mathbb{R}$.

[ghira1]

"Dragonlord":
b. \(\displaystyle ( \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q}) \cup ( \mathbb{N} \cap \mathbb{I}) \)

b. \(\displaystyle \mathbb{Z} \), la prima intersezione dà l'insieme degli interi, il più piccolo dei due, la seconda dà l'insieme dei naturali, infine l'unione degli interi e dei naturali restituisce l'insieme degli interi;

La tua risposta è giusta ma la seconda intersezione non è come dici. Avevi detto che $\mathbb{I}$ è l'insieme degli irrazionali, no? Gli interi sono $\mathbb{Z}$.

[Dragonlord]

Grazie ragazzi. Quindi sostanzialmente sono da rivedere la b. e la e.

Allora per quanto riguarda la b.: la prima intersezione è \(\displaystyle \mathbb{Z} \) e penso vada bene. La seconda avevo detto \(\displaystyle \mathbb{N} \), però qual è la risposta corretta? In effetti, non riesco a vederla bene.

Per la e., la prima unione fa \(\displaystyle \mathbb{Q} \), la seconda unione fa \(\displaystyle \mathbb{R-Q} \)? Quindi \(\displaystyle \mathbb{Q} \cap (\mathbb{R-Q}) \) è \(\displaystyle \mathbb{\emptyset} \)?

Forse sto sbagliando ancora, cortesemente aiutatemi

[axpgn]

Per la b: prima di tutto la frase "il più piccolo dei due" non ha senso in generale quindi lascia perdere quel discorso poi l'imprecisione sta nel fatto che i naturali e gli irrazionali NON hanno niente in comune quindi la loro intersezione è vuota.

Per la e: nella prima parentesi l'unione fra naturali e razionali genera i razionali mentre la seconda unione è proprio quello che è scritto in parentesi ovvero gli irrazionali più gli interi.
L'intersezione risulta essere formata solo dagli interi (razionali e irrazionali non hanno niente in comune mentre gli interi sono un sottoinsieme dei razionali)

[Pierlu11]

La rappresentazione degli insiemi con i diagrammi di Venn potrebbe aiutarti.
Tieni conto che
\[
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}
\]
Poi si da un nome anche a tutti i numeri reali che non sono in $\mathbb{Q}$, cioè gli irrazionali. L'insieme $\mathbb{I}$ risulta quindi essere il complementare si $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, dunque qualunque intersezione tra l'insieme degli irrazionali e l'insieme (o un sottoinsieme) dei razionali è l'insieme vuoto.

[Dragonlord]

Quindi, ricapitolando, le risposte: per b. è \(\displaystyle \mathbb{\emptyset} \) e per la e. è \(\displaystyle \mathbb{Z} \)

[ghira1]

"Dragonlord":Quindi, ricapitolando, le risposte: per b. è \(\displaystyle \mathbb{\emptyset} \) e per la e. è \(\displaystyle \mathbb{Z} \)

no, sì.

[Dragonlord]

Per la b.

La seconda intersezione è vuota, la prima è l'insieme dei naturali, allora l'unione è l'insieme dei naturali. Forse sbaglio sulla seconda intersezione?

[axpgn]

Per la b

La seconda intersezione è vuota ma la prima intersezione dà gli interi quindi l'unione degli interi con l'insieme vuoto dà gli interi.

[Dragonlord]

Si si giusto, quindi l'insieme degli interi, non so perchè ho scritto naturali.

Comunque tutto chiaro ora, grazie!