Unicità di una soluzione

[ermes*11]

Salve,
come si dimostra che l'equazione x - e ^-x = 0 ha una sola soluzione?
Grazie in anticipo,
Andrea

[Inmytime]

la puoi scrivere come

$x = e ^-x$

essendo data dall'intersezione di una funzione crescente con una decrescente, la soluzione è unica.

[TomSawyer1]

Per dimostrare che ha una sola soluzione, ti basta osservare il grafico della funzione. O a te interessa anche la soluzione?

[ermes*11]

Capisco. Il mio professore ci ha detto che si può dimostrare usando il teorema di Rolle; dice, siccome per il teorema di Rolle, se è vero che f (a) = f (b) allora esiste una x per la quale f ' (x) = 0, supponiamo per assurdo che nella funziona in questione ci siano f (a) = f(b) = 0; allora dovrebbe verificarsi anche f' (x) = 0 in un qualche punto dell'intervallo considerato. Siccome la derivata di quella funzione lì non si annulla mai, allora non è possibile che ci siano due punti in cui la funzione si annulla, quindi la soluzione è una sola. Io non sono, francamente, molto convinto di questo ragionamento. Voi che mi dite?
Grazie ancora,
Andrea

[Inmytime]

il ragionamento fila alla perfezione

[codino75]

"ermes*":Capisco. Il mio professore ci ha detto che si può dimostrare usando il teorema di Rolle; dice, siccome per il teorema di Rolle, se è vero che f (a) = f (b) allora esiste una x per la quale f ' (x) = 0, supponiamo per assurdo che nella funziona in questione ci siano f (a) = f(b) = 0; allora dovrebbe verificarsi anche f' (x) = 0 in un qualche punto dell'intervallo considerato. Siccome la derivata di quella funzione lì non si annulla mai, allora non è possibile che ci siano due punti in cui la funzione si annulla, quindi la soluzione è una sola. Io non sono, francamente, molto convinto di questo ragionamento. Voi che mi dite?
Grazie ancora,
Andrea

mi sembra che fila...
cosa non ti convince?

[ermes*11]

Il fatto è questo. Mi appare evidente che dalle ipotesi f (a) = f(b) segua la tesi f'(C) = 0, perché è un teorema. Però il teorema di Rolle si fa a partire dagli estremi, quindi da due punti in cui la f(x) ha lo stesso valore. Facendo il percorso a ritroso, cioè partendo dalla tesi per arrivare all'ipotesi, uno non trascura la possibilità che invece di una o due le soluzioni della funzione abbiano un altro numero? Cioè, mi spiego: se f(a) = f(b), allora f'(C) = 0, ma perché per forza se f'(c) = 0, allora semplicemente f(a) = f(b)? Insomma, non sto escludendo la possibilità che nell'intervallo la funzione tagli l'asse x qualche altra volta???? Scusate l'idiozia della domanda...

[codino75]

quando parli di 'tagliare l'asse ' parli del fatto che si e' ipotizzato che f(a)=f(b)=0?

[ermes*11]

Parlo del fatto che si annulli la funzione: il quesito chiedeva di dimostrare l'unicità della soluzione dell'equazione.

[codino75]

ok.
in qualunque altro punto la f taglia l'asse allora vuol dire che c'e' una altra soluzione...

[ermes*11]

Ok, ma se io dico questo: la derivata non si annulla mai, quindi non è vero che funzione assume lo stesso valore negli estremi per il teorema di Rolle (in questo caso quel valore sarebbe zero), non rischio di perdermi qualche altro punto dentro l'intervallo nel quale la funzione assuma quel valore (zero), al di là degli estremi? La derivata può pure non annullarsi mai, e per Rolle la f(x) non assume lo stesso valore sugli estremi, però la funzione quel valore può assumerlo all'interno dell'intervallo, a prescindere dagli estremi. O no? Scusami se ho riformulato la domanda, è che vorrei capire dove è che sto sragionando...

[codino75]

"ermes*":Ok, ma se io dico questo: la derivata non si annulla mai, quindi non è vero che funzione assume lo stesso valore negli estremi per il teorema di Rolle (in questo caso quel valore sarebbe zero), non rischio di perdermi qualche altro punto dentro l'intervallo nel quale la funzione assuma quel valore (zero), al di là degli estremi? Scusami se ho riformulato la domanda, è che vorrei capire dove è che sto sragionando...

il ragionamento e' il seguente (almeno credo):

la derivata non si annulla mai

quindi non ci possono essere 2 punti distinti (in tutto l'insieme di definizione della funzione) in cui la funzione assuma il medesimo valore.

quindi in particolare, poiche' so che c'e' un punto per il quale la funzione assume valore 0, non puo' esserci nessun altro punto in cui cio' si verifica

[ermes*11]

Chiaro!!! Molte grazie, sei un angelo.