Un'approssimazione

[texas971]

Salve a tutti. Spero sia questa la sezione giusta per sottoporvi un dubbio che ho riguardo un'approssimazione.

Svolgendo un problema di fisica ho ottenuto la seguente equazione

[tex]\displaystyle \sqrt{\frac{a^2D^2+a^2x^2+a^4+2a^3x}{(x+a)^2}}+\sqrt{\frac{x^4+x^2a^2+2x^3a+x^2D^2}{(x+a)^2}}-\sqrt{D^2+a^2+x^2-2ax}=y[/tex]

che dovrei risolvermi in x. Senza approssimazioni la vedo parecchio tosta ma per fortuna ho le condizioni
[tex]x\ll D[/tex] e [tex]a\ll D[/tex]. Immagino che sono autorizzato ad eliminare quei termini in cui compaiano a oppure x con grado superiore al primo(vicino ad un termine con D): come devo comportarmi con [tex]a^2D^2[/tex]? In particolare, come la svolgereste questa equazione?

Ringrazio tutti coloro che mi risponderanno!

[Raptorista1]

Lascia perdere le approssimazioni: io comincerei a mettere in evidenza una $a^2$ nella prima radice ed una $x^2$ nella seconda; il resto viene da sé!

[texas971]

Grazie per la risposta ma per fortuna avevo già trovato una soluzione.
Sostanzialmente il procedimento è quello a cui accenni: dopo alcuni passaggi si giunge (senza nessuna approssimazione) a


[tex]\displaystyle \sqrt{(x+a)^2+D^2}-\sqrt{(x-a)^2+D^2}=y[/tex] ora scrivo le radici come esponenti e raccolgo [tex]D^2[/tex]: avrò quindi

[tex]\left[D^2\left(1+\frac{(x+a)^2}{D^2}\right)\right]^\frac{1}{2}-\left[D^2\left(1+\frac{(x-a)^2}{D^2}\right)\right]^\frac{1}{2}=y[/tex].

Ma ora devo usare le approssimazioni suggerite (altrimenti non avrebbe senso che il testo le suggerisca...): in virtù del fatto che [tex]\dfrac{(x\pm a)^2}{D^2}\ll1[/tex], l'ultima equazione si riconduce a

[tex]D\left(1+\frac{(x+a)^2}{2D^2}\right)-D\left(1+\frac{(x-a)^2}{2D^2}\right)=y \longrightarrow x=\dfrac{D}{2a}y[/tex]

[Raptorista1]

Certo, così è giusto!