Una relazione particolare

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che se in un triangolo ABC vale la relazione:
[(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]/[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2]=2
allora ABC e' rettangolo.
karl.

[Sk_Anonymous]

Moltiplicando ambo i membri per [(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2] risulta:
(senA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=2(cosA)^2+2(cosB)^2+2(cosC)^2 ovvero:

(senA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2-2(cosA)^2-2(cosB)^2-2(cosC)^2=0
La cosa + opportuna è sbarazzarsi sel sen considerando l'identità:
-3(cosA)^2+(cosA)^2=-2(cosA)^2

Sostituendo viene infatti:
3-3(cosA)^2-3(cosB)^2-3(cosC)^2=0
cioè:
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1
Per studiare meglio i casi limite è meglio portare a 2°membro (cosC)^2 e eguagliare i 2 membri così ottentuti ad una incognita ausiliaria:
t=1-(cosC)^2
t=(cosA)^2+(cosB)^2
Le limitazioni sono:
0= Nota che nella 2°limitazione ho tenuto conto che nel triangolo vi è al massimo un angolo retto e che la retta può essere considerata come caso degenere del triangolo.
A questo punto la limitazione valida x entrambe è :
0 ricordando che:
t=1-(cosC)^2
si ha
0<1-(cosC)^2=<1
e cioè cosC=0

[Sk_Anonymous]

La conclusione finale mi lascia alquanto
perplesso.Intatti, essendo 1-(cosC)^2=(sinC)^2,ne
viene che :
0<(sinC)^2<=1
relazione che e' valida anche se C e' diverso da 90°.
Inoltre trovo strano che la tua dimostrazione non
consideri il fatto che A+B+C=180° che e' un dato
essenziale del problema.
Per esempio scegliendo
cosA=1/5,cosB=2/5,cosC=2sqrt(5)/5
e' facile vedere che la relazione da me proposta
e' verificata ma il triangolo ABC non e' rettangolo
anzi non esiste proprio perche risulta A+B+C>180°.
karl.

[jack110]

ma la tua relazione vale per tutti i triangoli rettangoli?

[Sk_Anonymous]

Hai ragione.Cmq quello che ti consiglio allora è porre C=[}:)]-A-B
nell'equazione (cosA)^2+cos(B)^2+cos(C)^2=1
e sapendo che cos([}:)]-(A+B))=-cos(A+B)
si arriva all'equazione:
(cosA)^2+cos(B)^2+cos(A+B)^2=1
utilizzando le formule di addizione dovresti riuscire a risolverlo..sono un bel po' di calcoli noiosi

[Sk_Anonymous]

Correggo:(cosA)^2+(cosB)^2+(cos(A+B))^2=1

[Sk_Anonymous]

Per jack.
La relazione e' valida per tutti i triangoli
rettangoli.
Per denn.
La tua ultima considerazione e' giusta.
karl.

[jack110]

sì è vero, ci ero arrivato dopo 5 minuti, ma non ho fatto in tempo a postare la soluzione, comunque la posto adesso(penso che il ragionamento sia uguale a quello di denn, ma non ne sono sicuro): moltiplico i membri dell' equazione per il denominatore della frazione, poi sostituisco a (cosA)^2= 1-(sinA)^2, per cui alla fine ottieni
(sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 =2;
adesso poichè in un triangolo rettangolo, un angolo è retto, allora uno dei tre angoli ha (sin)^2=1; per cui l' equazione diventa:
(sinA)^2 + (sinB)^2 =1, inoltre detti A e B gli angoli complementari, allora succede anche che sinB= cosA; per cui la relazione diventa:
(sinA)^2 + (cosA)^2 =1, che è l' equivalente trigonometrico del teorema di pitagora...

[Sk_Anonymous]

Per jack.
Mi dispiace ma che il triangolo sia rettangolo
va dimostrato partendo dalla relazione e non
facendo il contrario,altrimenti la cosa si
riduce ad una banale verifica.
In altre parole il teorema e' l'implicazione
semplice :
se la relazione e' soddisfatta--->il triangolo e' rettangolo
(e non viceversa!).
karl.