Una pedina saltellante
Ciao a tutti! Vi chiedo aiuto per questo problema. L'ho affrontato diverso tempo fa e ricordo di aver ottenuto che, in tutti i casi, è impossibile che si verifichi il risultato desiderato.
Risposte
"_clockwise":
...ma la seconda volta con un salto di lunghezza 2, la terza con un salto di lunghezza 4 e così via, con l’$n$-esimo salto di lunghezza $2n−1$.
Veramente il secondo e il terzo salto non mi sembra che rispettino la regola 2n-1 ...
Forse intende dire
Voglio tornare in $(0,0)$ e posso muovermi tante volte in ogni direzione (non solo lungo gli assi) ma la seconda volta con un salto di lunghezza 2, la terza con un salto di lunghezza 4 e così via, con l’$n$-esimo salto di lunghezza [size=150]$2^(n−1)$.[/size]
Voglio tornare in $(0,0)$ e posso muovermi tante volte in ogni direzione (non solo lungo gli assi) ma la seconda volta con un salto di lunghezza 2, la terza con un salto di lunghezza 4 e così via, con l’$n$-esimo salto di lunghezza [size=150]$2^(n−1)$.[/size]
"@melia":
Forse intende dire
... [size=150]$2^(n−1)$.[/size]
Già, potevo pensarci...
così a prima vista direi che, se vediamo il piano come una scacchiera, la casella 0,0 ha un colore (diciamo bianco), 0,1 è nera, e i successivi salti sono tutti pari, e un salto pari mantiene il colore, quindi ci muoviamo sempre sui neri, e non si può tornare in 0,0.
Questo se interpreto bene la frase "può muoversi in ogni direzione", che suppongo voglia dire "parallelamente agli assi o alle diagonali". Del resto, se non fosse così, non si capisce cosa sarebbe la lunghezza del salto.
A meno che non significhi che può fare anche angoli, un po' come il cavallo, nel qual caso non funziona. O magari funziona lo stesso, ma non è così ovvio.
Questo se interpreto bene la frase "può muoversi in ogni direzione", che suppongo voglia dire "parallelamente agli assi o alle diagonali". Del resto, se non fosse così, non si capisce cosa sarebbe la lunghezza del salto.
A meno che non significhi che può fare anche angoli, un po' come il cavallo, nel qual caso non funziona. O magari funziona lo stesso, ma non è così ovvio.
Sì scusate, era $2^(n-1)$.
Mi viene in mente che, perché la pedina ritorni nell'origine, deve descrivere un poligono. A questo punto si tratta di vedere se può esistere o meno un poligono che abbia per lati potenze di due... Per la disuguaglianza triangolare estesa, in un poligono un lato deve essere minore della somma di tutti gli altri. Ora, se il poligono descritto dalla pedina ha $n$ lati, la somma di tutti i lati eccetto l'ultimo è:
Per cui, applicando la disuguaglianza all'ultimo lato, dovrebbe essere $2^{n-1}<2^{n-1}-1$, che è chiaramente falso. Quindi questo poligono non esiste.
Quanto alla generalizzazione, procedendo analogamente (con l'accortezza che ora si parte da $k^1$ e non da $k^0$), si ha che la somma di tutti gli $n$ lati eccetto l'ultimo è:
E dunque dev'essere:
poiché $k>1$. Spero tutto questo abbia senso. Se sì, mi resta solo da vedere se questa disequazione ha soluzioni del tipo $(k,n)$ o no.
Mi viene in mente che, perché la pedina ritorni nell'origine, deve descrivere un poligono. A questo punto si tratta di vedere se può esistere o meno un poligono che abbia per lati potenze di due... Per la disuguaglianza triangolare estesa, in un poligono un lato deve essere minore della somma di tutti gli altri. Ora, se il poligono descritto dalla pedina ha $n$ lati, la somma di tutti i lati eccetto l'ultimo è:
\(\displaystyle\sum_{j=0}^{n-2}2^j=\dfrac{2^{(n-2)+1}-1}{2-1}=2^{n-1}-1\).
Per cui, applicando la disuguaglianza all'ultimo lato, dovrebbe essere $2^{n-1}<2^{n-1}-1$, che è chiaramente falso. Quindi questo poligono non esiste.
Quanto alla generalizzazione, procedendo analogamente (con l'accortezza che ora si parte da $k^1$ e non da $k^0$), si ha che la somma di tutti gli $n$ lati eccetto l'ultimo è:
\(\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}k^j=-1+\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}k^j=\dfrac{k^{(n-1)+1}-1}{k-1}-1=\dfrac{k^n-k}{k-1}\).
E dunque dev'essere:
\(k^n<\dfrac{k^n-k}{k-1}\;\;\longrightarrow\;\;k^n-2k^{n-1}+1<0\)
poiché $k>1$. Spero tutto questo abbia senso. Se sì, mi resta solo da vedere se questa disequazione ha soluzioni del tipo $(k,n)$ o no.
@clockwise
hai ignorato totalmente il post di mgrau, che chiede specifiche e offre eventuali soluzioni.
il bump è inutile
hai ignorato totalmente il post di mgrau, che chiede specifiche e offre eventuali soluzioni.
il bump è inutile
Non sapevo cosa facesse esattamente, ho solo premuto il pulsante e solo poi ho realizzato, mi scuso.
Comunque non l'ho affatto ignorato, mi sembrava solo che stesse solo ragionando, quindi ho avuto un'idea e gliel'ho proposta. In ogni caso, per chiarire il dubbio di mgrau sul testo, sì, "in ogni direzione" immagino proprio sia inteso come "formando ogni angolo con l'orizzontale". La lunghezza dell'$n$-esimo salto è la lunghezza del segmento percorso dalla pedina, ovvero $2^{n-1}$. A questo punto le colorazioni diventano molto complicate da usare. Per bypassare tutte le difficoltà infatti ho ragionato su un poligono generico
Comunque non l'ho affatto ignorato, mi sembrava solo che stesse solo ragionando, quindi ho avuto un'idea e gliel'ho proposta. In ogni caso, per chiarire il dubbio di mgrau sul testo, sì, "in ogni direzione" immagino proprio sia inteso come "formando ogni angolo con l'orizzontale". La lunghezza dell'$n$-esimo salto è la lunghezza del segmento percorso dalla pedina, ovvero $2^{n-1}$. A questo punto le colorazioni diventano molto complicate da usare. Per bypassare tutte le difficoltà infatti ho ragionato su un poligono generico
"_clockwise":
Non sapevo cosa facesse esattamente, ho solo premuto il pulsante e solo poi ho realizzato, mi scuso.
Comunque, sì, quello che hai scritto dovrebbe essere giusto (da qualche parte qui dentro c'è già stato un problema simile)
Cordialmente, Alex
Grazie!
Effettivamente mi sono poi reso conto che avevo travisato del tutto il senso del problema. Non c'era motivo di pensare ad una quadrettatura discreta e a coordinate intere.
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