Una funzione derivabile ha derivata continua?
spero di non sbagliare sezione, nel caso spostate pure.
Il dubbio che mi tormenta da un po' di tempo è:
se una funzione è derivabile in un intervallo (aperto o chiuso che sia) la funzione derivata è continua?
Se la risposta è si mi piacerebbe vedere la dimostrazione, se la risposta è no mi piacerebbe vedere il controesempio.
Grazie in anticipo a chi saprà aiutarmi!
Il dubbio che mi tormenta da un po' di tempo è:
se una funzione è derivabile in un intervallo (aperto o chiuso che sia) la funzione derivata è continua?
Se la risposta è si mi piacerebbe vedere la dimostrazione, se la risposta è no mi piacerebbe vedere il controesempio.
Grazie in anticipo a chi saprà aiutarmi!
Risposte
Uno dei teoremi principali del calcolo integrale suggerisce che ogni funzione continua in un intervallo I ammette primitive in I; nel mio libro di liceo non è tuttavia riportata la dimostrazione. Credo però che la conoscenza di questo teorema non colmi in toto la tua perplessità.
Ciao Gaussman,
propongo questo controesempio di funzione derivabile in $x=0$ ma con derivata non continua:
$f(x)={(x^2sin(1/x), if x!=0),(0,if x=0):}$
In effetti il quesito forse si addice più alla sezione di Analisi Matematica
propongo questo controesempio di funzione derivabile in $x=0$ ma con derivata non continua:
$f(x)={(x^2sin(1/x), if x!=0),(0,if x=0):}$
In effetti il quesito forse si addice più alla sezione di Analisi Matematica
Qualche suggerimento a Gaussmann per capire l'esempio.
1) Verificare che è continua in $0$ calcolandone il limite.
2) Verificare che è derivabile in $0$ colcolando il limite del rapporto incrementale, secondo definizione.
3) Verificare che la derivata in $RR\\{0}$, trovata con le usuali regole di derivazione, non ammette limite in 0.
Il senso dei passi precedenti è che, essendo definita "a mano" in un punto, dovremo verificare "a mano" le proprietà della funzione in quel punto. Invece sappiamo già che in tutti gli altri punti è continua e derivabile in quanto prodotto e composizione di funzioni continue e derivabili.
Riesci a intuire com'è fatto il grafico della funzione? In caso dopo averci pensato un po' aiutati con un programma o con WolframAlpha. (non che guardandolo si capisca al volo la situazione eh!)
1) Verificare che è continua in $0$ calcolandone il limite.
2) Verificare che è derivabile in $0$ colcolando il limite del rapporto incrementale, secondo definizione.
3) Verificare che la derivata in $RR\\{0}$, trovata con le usuali regole di derivazione, non ammette limite in 0.
Il senso dei passi precedenti è che, essendo definita "a mano" in un punto, dovremo verificare "a mano" le proprietà della funzione in quel punto. Invece sappiamo già che in tutti gli altri punti è continua e derivabile in quanto prodotto e composizione di funzioni continue e derivabili.
Riesci a intuire com'è fatto il grafico della funzione? In caso dopo averci pensato un po' aiutati con un programma o con WolframAlpha. (non che guardandolo si capisca al volo la situazione eh!)
oddio che esempio figo!!Grazie a tutti per vaer risolto il mio dubbio, ora posso dormire sonni tranquilli
@yellow: mi pare che il grafico della funzione sia vicino allo 0 un'onda di grandezza sempre minore e con le creste sempre più vicine che non termina, ma si protrae all'infinito
Sì, esatto. Si può dire che "oscilla infinite volte in ogni intorno di $0$".
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