Una divertente (??) equazione
Per quali valori interi di b e c e' $x=sqrt19+sqrt98$ radice dell'equazione
$x^4+bx^2+c=0$ ?
Archimede
$x^4+bx^2+c=0$ ?
Archimede
Risposte
Dovrebbe venire:
$x^4-234x^2+6241=0$
Se non ho fatto errori!!!!
$x^4-234x^2+6241=0$
Se non ho fatto errori!!!!
Confermo il risultato ottenuto da Fury.
Siete stati bravi (anche se non avete postato il procedimento).
Ma ora vi do scacco matto col seguente esercizio:
Siano $a,b,c,d$ quattro reali positivi soddisfacenti la relazione:
$a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$
Verificare che si ha pure:
$a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$
Quì vi voglio ! ! (anche perche' non ho la soluzione...)
Archimede
Ma ora vi do scacco matto col seguente esercizio:
Siano $a,b,c,d$ quattro reali positivi soddisfacenti la relazione:
$a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$
Verificare che si ha pure:
$a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$
Quì vi voglio ! ! (anche perche' non ho la soluzione...)
Archimede
Per la prima: $a=b=c=d$ oppure $a=c$ e $b=d$ oppure $a=d$ e $b=c$. Ci sono sicuramente altri casi in cui la relazione è verificata, ma non so quali siano!
Dalla prima sviluppiamo:
$2·a^2 - 2·a·b + 2·b^2 = 2·c^2 - 2·c·d + 2·d^2$
Dividiamo per due:
$a^2 - a·b + b^2 = c^2 - c·d + d^2$
Dalla seconda sviluppiamo:
$2·a^4 - 4·a^3·b + 6·a^2·b^2 - 4·a·b^3 + 2·b^4 = 2·d^4 - 4·c·d^3 + 6·c^2·d^2 - 4·c^3·d + 2·c^4$
Dividiamo per due:
$a^4 - 2·a^3·b + 3·a^2·b^2 - 2·a·b^3 + b^4 = c^4 - 2·c^3·d + 3·c^2·d^2 - 2·c·d^3 + d^4$
E raccogliamo i quadrati:
$(a^2 - a·b + b^2)^2 = (d^2 - c·d + c^2)^2$
E abbiamo dimostrato il secondo.é corretta?
$2·a^2 - 2·a·b + 2·b^2 = 2·c^2 - 2·c·d + 2·d^2$
Dividiamo per due:
$a^2 - a·b + b^2 = c^2 - c·d + d^2$
Dalla seconda sviluppiamo:
$2·a^4 - 4·a^3·b + 6·a^2·b^2 - 4·a·b^3 + 2·b^4 = 2·d^4 - 4·c·d^3 + 6·c^2·d^2 - 4·c^3·d + 2·c^4$
Dividiamo per due:
$a^4 - 2·a^3·b + 3·a^2·b^2 - 2·a·b^3 + b^4 = c^4 - 2·c^3·d + 3·c^2·d^2 - 2·c·d^3 + d^4$
E raccogliamo i quadrati:
$(a^2 - a·b + b^2)^2 = (d^2 - c·d + c^2)^2$
E abbiamo dimostrato il secondo.é corretta?
Si è corretta. Ovviamente rimane da dimostrare rigorosamente la prima!
La soluzione di blackdie e' giusta.
La prima relazione e' un dato del problema e non deve essere dimostrata.
Archie.
La prima relazione e' un dato del problema e non deve essere dimostrata.
Archie.
E io pensavo che si doveva dimostrare la prima... Vabbè!
A proposito quali sono i numeri interi che soddisfano la prima equazione
$a^2 + b^2 + (a - b)^2 = c^2 + d^2 + (c - d)^2
Questo penso sia un tipo di quesito riguardanti le equazioni diofantee,che purtroppo non so risolvere.
Chi è capace?
$a^2 + b^2 + (a - b)^2 = c^2 + d^2 + (c - d)^2
Questo penso sia un tipo di quesito riguardanti le equazioni diofantee,che purtroppo non so risolvere.
Chi è capace?
Il quesito dice che i quattro numeri sono reali positivi. Il che è ancora peggio...!!
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