Una diseguaglianza

[Sk_Anonymous]

Siano x,y,z tre numeri reali positivi.Dimostrare che ,quali che siano essi,risulta sempre:
$(x^2)/(x+y)+(y^2)/(y+z)+(z^2)/(z+x)>=(x+y+z)/2$

Qualche indicazione.
Se conoscete la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz potrete risolvere al cosa
in maniera molto...elegante.Altrimenti potete...rifarvi osservando che e' :
$4x^2=[(x+y)+(x-y)]^2$ e ciclicamente per y e z.
Non posso escudere che vi siano altri tipi di risoluzione del quesito.

karl

[klarence1]

Sbaglio o è un quesito della normale dato qualche anno fa ai test di ingresso?

[Sk_Anonymous]

@klarence
Potrebbe essere ma io non l'ho preso da lì.
karl

[Bruno13]

Un'alternativa, senza tanto impegno...

Considero:

$\frac{x^2}{x+y}=\frac{x}{2}+(\frac{x}{2}-\frac{xy}{x+y})$

$\frac{y^2}{y+z}=\frac{y}{2}+(\frac{y}{2}-\frac{yz}{y+z})$

$\frac{z^2}{z+x}=\frac{z}{2}+(\frac{z}{2}-\frac{zx}{z+x})$

Poi sommo tutto:

$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=\frac{x+y+z}{2}+(\frac{x+y+z}{2}-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{zx}{z+x})$

L'espressione fra parentesi, per le variabili
date, non è mai negativa, poiché deriva dalla
disuguaglianza fra media aritmetica e media
armonica:

$\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2} = x+y+z \ge \frac{2xy}{x+y}+\frac{2yz}{y+z}+\frac{2zx}{z+x}$

$\to \frac{x+y+z}{2} -\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{zx}{z+x}\ge 0$

Quindi posso scrivere:

$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}$

Salvo sviste.

[Sk_Anonymous]

Bel ritorno quello di Bruno.Complimenti!!
karl