Una curiosità sul teorema di permanenza del segno (limiti)
Notavo che la dimostrazione e l'enunciato del teorema del titolo dimostra che esiste un intorno per cui la funzione ha segno concorde con il proprio limite sotto le opportune ipotesi.
Mi chiedevo però: ho sì dimostrato che è concorde per un dato intorno di un certo "raggio" (il mio libro dimostra tramite epsilon mezzi) la funzione, però non mi dimostra che per gli intorni più piccoli sulle x la funzione assuma valori concordi.
Intuitivamente è così perché per ogni "sotto-intorno" passatemi la parola sarà concorde, ma tramite quella dimostrazione non ne ho la certezza.
Ho sbagliato a capirla o è così?
Mi chiedevo però: ho sì dimostrato che è concorde per un dato intorno di un certo "raggio" (il mio libro dimostra tramite epsilon mezzi) la funzione, però non mi dimostra che per gli intorni più piccoli sulle x la funzione assuma valori concordi.
Intuitivamente è così perché per ogni "sotto-intorno" passatemi la parola sarà concorde, ma tramite quella dimostrazione non ne ho la certezza.
Ho sbagliato a capirla o è così?

Risposte
È chiaro che se una funzione è positiva(negativa) in un intorno, lo sarà anche in ogni intorno in esso contenuto...
Viene direttamente dalle inclusioni insiemistiche...
Viene direttamente dalle inclusioni insiemistiche...
Grazie, lo vedevo intuitivamente ma volevo capirlo in maniera più rigorosa.
Ora ho capito comemuovermi
Ora ho capito comemuovermi

per farlo formalmente ti basta prendere un qualsiasi intorno contenuto in esso, se prendi un elemento in tale intorno allora..