Una conferma
dimostrare che $a^4+b^4>=a^3b$ con$a,binRR$ e dire quando si ha l'uguaglianza
allora riscriviamo l'equazione in questo modo $a^3(a-b)+b^4>=0$
quindi ora basterà analizzare i diversi casi di combinazioni di segno per vedere che succede.
inizieremo ponendo
b>a
1°caso a>0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, quindi, se ipotiziamo che a-b dia per risultato una quantità negativa molto piccola, per esempio -1, possiamo riscrivere la disequazione come $b^4-a^3>=0$, ma b>a quindi la loro differenza è un valore positivo.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4-|a^3|>0AA_(a,b)$ in quanto $b>a$
2°caso a<0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, mentre $b^4$ è positiva sempre (in quanto ha un indice pari) e $a^3$ haq segno negativo (in quanto ha indice dispari).
possiamo risrivere la disequazione come nel 1° caso (facendo l'ipotesi che a-b=1 per comodità) cioè $b^4-a^3>=0$, ma b>a quindi la loro differenza è un valore positivo.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4-|a^3|>0AA_(a,b)$ in quanto $b>a$
3°caso a>0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia $a^4>0$ e in questo caso anche $a^3>0$, il risultato è per forza un numero maggiore di zero.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
4° caso a<0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, ma il prodotto di segno con la quantità negativa $a^3$ da una quantità positiva, come positiva è la quantità $b^4$ quindi anche la somma dà una quantità positiva.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
ora analizziamo il secondo caso, cioè quando
b
$a^3(a-b)+b^4>=0$
1°caso a>0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, come positive sono le quantità $a^3$ e $b^4$, quindi la somma è un numero positivo.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
2°caso a<0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, mentre $b^4$ è positiva sempre (in quanto ha un indice pari) e $a^3$ ha segno negativo (in quanto ha indice dispari); facendo il prodotto tra segni tra la differenza (a-b)e$a^3$, si ottiene un numero positivo e il risultato è tale quale al 1°caso sopra citato.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
3°caso a>0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia $b^4>0$ e in questo caso anche $a^3>0$, il risultato è per forza un numero maggiore di zero .
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
4° caso a<0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, ma il prodotto di segno con la quantità negativa $a^3$ da una quantità positiva, come positiva è la quantità $b^4$ quindi anche la somma dà una quantità positiva.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
ultimo caso, quando
a=b
$a^3(a-b)+b^4>=0$
con a=b, la differenza a-b dà come risultato sempre 0 e visto che $b^4$ è sempre positivo o uguale a zero, quindi il risultato della disequazione, che dipende solo da $b^4$ dà la certezza che la disequazione soddisfi l'ipotesi iniziale.
riassumendo
$(a-b)=0
$a^3<0
$b^4>=0
$b^4>=0AA_(b)$
infine la disequazione ammette l'uguaglianza solo se a e b sono contemporaneamente nulli.
Questa è la mia dimostrazione, secondo voi va bene?
per caso esiste un metodo più elegante per dimostrare questa disequazione?...
grazie a tutti.
allora riscriviamo l'equazione in questo modo $a^3(a-b)+b^4>=0$
quindi ora basterà analizzare i diversi casi di combinazioni di segno per vedere che succede.
inizieremo ponendo
b>a
1°caso a>0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, quindi, se ipotiziamo che a-b dia per risultato una quantità negativa molto piccola, per esempio -1, possiamo riscrivere la disequazione come $b^4-a^3>=0$, ma b>a quindi la loro differenza è un valore positivo.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4-|a^3|>0AA_(a,b)$ in quanto $b>a$
2°caso a<0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, mentre $b^4$ è positiva sempre (in quanto ha un indice pari) e $a^3$ haq segno negativo (in quanto ha indice dispari).
possiamo risrivere la disequazione come nel 1° caso (facendo l'ipotesi che a-b=1 per comodità) cioè $b^4-a^3>=0$, ma b>a quindi la loro differenza è un valore positivo.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4-|a^3|>0AA_(a,b)$ in quanto $b>a$
3°caso a>0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia $a^4>0$ e in questo caso anche $a^3>0$, il risultato è per forza un numero maggiore di zero.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
4° caso a<0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, ma il prodotto di segno con la quantità negativa $a^3$ da una quantità positiva, come positiva è la quantità $b^4$ quindi anche la somma dà una quantità positiva.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
ora analizziamo il secondo caso, cioè quando
b
$a^3(a-b)+b^4>=0$
1°caso a>0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, come positive sono le quantità $a^3$ e $b^4$, quindi la somma è un numero positivo.
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
2°caso a<0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, mentre $b^4$ è positiva sempre (in quanto ha un indice pari) e $a^3$ ha segno negativo (in quanto ha indice dispari); facendo il prodotto tra segni tra la differenza (a-b)e$a^3$, si ottiene un numero positivo e il risultato è tale quale al 1°caso sopra citato.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
3°caso a>0, b<0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero positivo, essendo sia $b^4>0$ e in questo caso anche $a^3>0$, il risultato è per forza un numero maggiore di zero .
riassumendo
$(a-b)>0
$a^3>0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
4° caso a<0, b>0
vediamo che la differenza (a-b) dà come risultato un numero negativo, ma il prodotto di segno con la quantità negativa $a^3$ da una quantità positiva, come positiva è la quantità $b^4$ quindi anche la somma dà una quantità positiva.
riassumendo
$(a-b)<0
$a^3<0
$b^4>0
$b^4+a^3>0AA_(a,b)$
ultimo caso, quando
a=b
$a^3(a-b)+b^4>=0$
con a=b, la differenza a-b dà come risultato sempre 0 e visto che $b^4$ è sempre positivo o uguale a zero, quindi il risultato della disequazione, che dipende solo da $b^4$ dà la certezza che la disequazione soddisfi l'ipotesi iniziale.
riassumendo
$(a-b)=0
$a^3<0
$b^4>=0
$b^4>=0AA_(b)$
infine la disequazione ammette l'uguaglianza solo se a e b sono contemporaneamente nulli.
Questa è la mia dimostrazione, secondo voi va bene?
per caso esiste un metodo più elegante per dimostrare questa disequazione?...
grazie a tutti.
Risposte
i seguenti 2 casi puoi escluderli comunque subito in quanto "banali":
1) a>0 e b<0 in quanto il secondo membro della diseq data e' negativo, mentre il primo e' positivo
2) a<0 e b>0 per lo stesso motivo del caso 1)
per ora mi viene in mente solo questo...continuo a pensare agli altri casi...
ciao alex
1) a>0 e b<0 in quanto il secondo membro della diseq data e' negativo, mentre il primo e' positivo
2) a<0 e b>0 per lo stesso motivo del caso 1)
per ora mi viene in mente solo questo...continuo a pensare agli altri casi...
ciao alex
cmq l'unica strada per dimostrare questa disequazione è questa lunga discussione, giusto?...
non so proprio se sia l'unica.............bo'
infatti... lo spero, spero che ci sia qualche dimostrazione più elegante, ma nn ne trovo... 
"fu^2":
infatti... lo spero, spero che ci sia qualche dimostrazione più elegante, ma nn ne trovo...
Il concetto di eleganza in matematica è molto relativo.
Una delle dimostrazioni più citate come esempio (anche se forse nn di "eleganza") è la famosa dimostrazione dell'impossibilità di una soluzione frazionaria a $2^(0,5)$.
Si considerano i seguenti possibili casi:
p pari, q pari,
p dispari, q pari
p dispari, q dispari
p pari, q dispari.
Se fosse
1) $2^(0,5)=p/q$ con $p,q in N$
nn potrebbe essere
p pari, q pari perchè semplificando si arriverebbe a uno degli altri tre casi.
non potrebbero essere neanche
p dispari, q dispari
p dispari, q pari
perchè la 1) si può riscrivere, elevando al quadrato i due membri e divendo per $q^2$, in questo modo
2) $2q^2=p^2$
dalla quale si evince che $p^2$ è sempre pari e quindi lo è anche $p$.
Rimane da verificare p pari, q dispari; questo quarto caso è impossibile perchè se faccio p/2 x p/2 ottengo
$(p^2)/4$
ma se $p^2$ è divisibile per 4, lo sarà anche $2q^2$ essendo vera la 2).
Quindi $q^2$ è dividibile per 2.
Ciò significa che q non può mai essere dispari.
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