Un rombo spaziale

[giammaria2]

Un angoloide di vertice V ha come facce quattro angoli uguali. Dimostrare che è possibile intersecarlo con un piano in modo che l'intersezione sia un rombo.

In passato ho risolto questo problema ma ora ho difficoltà a ricostruire la mia soluzione; ricordo che era piuttosto macchinosa e quindi probabilmente migliorabile. Qualcuno può aiutarmi?
Ricordo la soluzione intuitiva, che però non è una dimostrazione: c'è un asse di simmetria e il piano è uno qualsiasi di quelli perpendicolari a quest'asse. Scusatemi se, contravvenendo al regolamento, non metto un mio tentativo di soluzione; lo faccio per non indurre a seguire la stessa strada, quando forse ce n'è un'altra molto migliore. Se però lo ritenete necessario, in futuro posterò il mio punto di partenza (quello lo ricordo)

[giammaria2]

Parlando di angoloide ho dimenticato di specificare che mi riferisco alla solita figura, con la somma degli angoli inferiore ad un angolo giro e gli spigoli distinti fra loro. Inoltre ripensandoci ho deciso di scrivere l'inizio della mia soluzione; se mai, non leggetela.

Su due spigoli opposti prendo i punti A e C in modo che sia VA=VC; indico con H il punto medio di AC e con B e D le intersezioni degli altri due spigoli col piano perpendicolare a VH in H. I triangoli AVB e BVC sono uguali per il primo criterio e ne consegue AB=BC; perciò il triangolo ABC è isoscele e la mediana BH è perpendicolare alla base AC. Analogamente dimostro che DH è perpendicolare ad AC, quindi i punti B, H, D sono allineati (EDIT: questa conclusione è troppo frettolosa; nel successivo intervento aggiungo la parte mancante). E poi come continuo?

[giammaria2]

Ho ritrovato la mia soluzione ma, perbacco, quanto è lunga e contorta! Si può certo fare di meglio, quindi rinnovo la mia richiesta di aiuto. Riporto qui la continuazione di quello che ho già scritto.

Comincio con un ragionamento che in realtà avrebbe dovuto precedere ogni precedente dimostrazione. Il triangolo VAC è isoscele e VH è mediana, quindi AC è perpendicolare a VH e perciò sta nel piano perpendicolare di cui ho parlato: questo garantisce che ABCD è una figura piana e permette di trarre la conclusione che i punti B, H, D sono allineati (nel piano, la perpendicolare ad una retta in un suo punto è unica; nello spazio no).
Riassumendo, sappiamo che ABCD è una figura piana, che le sue diagonali sono perpendicolari e che la loro intersezione dimezza AC; resta da dimostrare che dimezza anche BD.
AH è perpendicolare al piano VBD (perché questo contiene VH e HB, perpendicolari ad AH); quindi, detta HR la perpendicolare a VB, per il teorema delle tre perpendicolari anche AR è perpendicolare a VB. Nello stesso modo prendiamo su VD il punto S.
I triangoli VAR e VAS sono uguali perché triangoli rettangoli con AV in comune e gli angoli in V uguali: quindi AR=AS.
I triangoli AHR e AHS sono uguali perché triangoli rettangoli con AH in comune e AR=AS: quindi HR=HS.
L'attenzione va ora al piano VBD. I triangoli VHR e VHS sono uguali perché triangoli rettangoli con VH in comune e HR=HS: quindi sono uguali gli angoli in V. I triangoli VHB e VHD sono uguali perché triangoli rettangoli con VH in comune e gli angoli in V uguali: quindi BH=HD.
Come volevasi dimostrare, puff, pant!

[gio73]

Ho cercato di seguire i tuoi ragionamenti e aiutarti perchè in passato mi hai dato una mano in una dimostrazione, ma a causa dei miei limiti non ci riesco (sei più bravo di me!).
Ho una domanda sciocca: se l'angoloide è formato da quattro angoli congruenti ed è intersecato da un piano perpendicolare alla retta che unisce i punti equidistanti ai lati dell'angoloide (l'asse di simmetria?) la figura che si ottiene oltre ad essere un rombo non è anche un quadrato?

[giammaria2]

Il quadrato era stato anche la mia prima idea, ma ho dovuto correggerla. Pensa di ritagliare nel cartone rigido i quattro angoli uguali e di attaccarli fra loro con del nastro adesivo pieghevole: puoi avvicinare o allontanare due spigoli opposti, rendendo così diverse fra loro le diagonali del poligono intersezione.

[gio73]

Condivido con te l'approccio "materiale" alla geometria e ho appena fatto e verificato quanto hai appena scritto!
Dalla costruzione fatta con la carta si intuisce che l'intersezione con un piano perpendicolare all'asse di simmetria è un rombo (più o meno schiacciato); deformando l'angoloide si nota che (nell'immaginari figura intersezione col piano) mentre due vertici si avvicinano e gli altri due si allontanano.

[giammaria2]

Perdindirindina! Ho appena trovato una soluzione rapidissima e il mio sospetto era giusto: la strada da seguire era un'altra. Ritiro la richiesta di aiuto, pur ringraziando quanti si sono scervellati su questo problema.

Su due spigoli opposti prendo i punti A e C in modo che sia VA=VC. Considero ora il piano individuato dagli altri due spigoli, che chiamerò \(\displaystyle b,c \), e che è attraversato in O da AC; per O traccio la perpendicolare alla bisettrice di $\hat{bc}$ che incontra i lati In B, D; il triangolo VBD è isoscele perchè bisettrice e altezza coincidono. Le rette AC e BD si intersecano in O quindi individuano un piano, che è quello cercato: infatti i triangoli VAB, VBC, VCD, VDA sono uguali per il primo criterio ed in particolare AB=BC=CD=DA.