Un problema sugli angoli di un poligono

[Sk_Anonymous]

Un poligono convesso di N lati ha gli angoli
interni in progressione aritmetica di ragione 20°.
Sapendo che l'angolo piu' piccolo misura p,
si chiede di determinare N e p.
(problema tratto da un sito francese e forse
gia' noto sul Forum).
karl.

[fireball1]

In un poligono convesso di n lati la somma degli angoli interni è data da (n-2) angoli piatti (180°). Poiché le ampiezze degli angoli sono date da a(1), a(2)=a(1)+20,..., a(n)=a(1)+(n-1)*20 che deve essere uguale a (n-2)*180.
Da qui, ricordando che 1+2+3+...+n=n(n-1)/2, si ha che a(1)=180*(n-2)-n(n-1). Poiché a(1) è maggiore di zero si ricava che n è compreso tra 3 e 16. Imponendo poi che a(n) debba essere minore di 180° (il poligono è convesso) si arriva a concludere che n è compreso tra 3 e 6. Perciò, gli unici poligoni che ci interessano sono:
n=3, triangolo, a(1)=40°
n=4, quadrilatero, a(1)=60°
n=5, pentagono, a(1)=68°
n=6, esagono a(1)=70°

[goblyn]

La somma degli angoli interni vale S=(N-2)*180.

L'angolo i-esimo vale:

ai = p + (i-1)*20

SOMMA[i=1] ai = S

N(p - 20) + 20*SOMMA[i=1] i = (N-2)*180

N(p - 20) + 10*N(N+1) = (N-2)*180

10N^2 + N(p-190) + 360 = 0

delta = (p-190)^2 - 14400

Ora imponiamo delta>=0

(p-190)<=-120 vel (p-190)>=120

Da cui traiamo la soluzione accettabile (poligono convesso):

p<=70

N = [(190-p) +- sqrt(delta)]/20

Ci sono varie soluzioni. Una è N=6 p=70. Un'altra è N=4 p=60.

[fireball1]

Abbiamo risposto insieme ancora una volta!

[goblyn]