Un problema di massimo.

[Shocker1]

Buonasera a tutti

Non riesco a risolvere questo problema:

Supponiamo che $2 - sqrt(99)$ sia una soluzione dell'equazione $x^2 + ax + b$ dove $b$ è un numero reale negativo e $a$ è un numero intero. Qual è il più grande valore possibile di $a$.

Allora, io ho provato a sfruttare le relazioni tra coefficienti e radici:

siano $\lambda_1 = 2- sqrt(99)$ e $\lambda_2$ le radici di $p(x) = x^2 + ax + b$, sappiamo che: $-(\lambda_1 + \lambda_2) = a in ZZ$, dato che $a$ è un intero allora la soluzione $\lambda_2$ è della forma $k + sqrt(99)$ con $k in ZZ$. Qui mi sono bloccato: mi sembra un ragionamento troppo semplice e troppo debole, qualche suggerimento per risolvere il problema?

[giammaria2]

Il ragionamento è giusto e ne deduci $a=-(2+k)$. Resta da imporre la condizione $b<0$, cioè

$(2-sqrt99)(k+sqrt99)<0$

Il primo fattore è negativo, quindi il secondo è positivo: $k> -sqrt99$. Inoltre $k$ deve essere intero, quindi

$k>=-9->-k<=9->a=-2-k<=-2+9=7$

[Shocker1]

"giammaria":Il ragionamento è giusto e ne deduci $a=-(2+k)$. Resta da imporre la condizione $b<0$, cioè

$(2-sqrt99)(k+sqrt99)<0$

Il primo fattore è negativo, quindi il secondo è positivo: $k> -sqrt99$. Inoltre $k$ deve essere intero, quindi

$k>=-9->-k<=9->a=-2-k<=-2+9=7$

Oh bene, allora il ragionamento è giusto!
Non so il perché ma tendo sempre a pensare che i miei ragionamenti siano deboli .


Grazie per la risposta, alla prossima .

[@melia]

Mi pare un po' elaborata come soluzione, non basta sostituire semplicemente ad $x$ la soluzione?
Da $x^2 + ax + b=0$ ricavo $b$
$b= -x^2 - ax $, siccome $b<0$ allora $ -x^2 - ax <0$ da cui $-ax $-a(2 - sqrt(99)) < (2 - sqrt(99))^2$ da cui $a < sqrt(99)-2$ il valore è compreso tra 7 e 8, quindi $a=7$
Il tutto senza l'uso di variabili ausiliarie.

[Shocker1]

"@melia":Mi pare un po' elaborata come soluzione, non basta sostituire semplicemente ad $x$ la soluzione?
Da $x^2 + ax + b=0$ ricavo $b$
$b= -x^2 - ax $, siccome $b<0$ allora $ -x^2 - ax <0$ da cui $-ax $-a(2 - sqrt(99)) < (2 - sqrt(99))^2$ da cui $a < sqrt(99)-2$ il valore è compreso tra 7 e 8, quindi $a=7$
Il tutto senza l'uso di variabili ausiliarie.

Uhm, non ci avevo proprio pensato! Grazie