Un problema di massimo
salve a tutti. Ho da risolvere il seguente problema:
Su una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ si prenda un punto $C$ tale che $B\hat AC$ sia $60°$. Sull'arco $BC$ trovare il punto $P$ tale che sia massima la somma delle distanze di $P$ dalle rette $AC$ e $AB$.
Ho preso un sistema di riferimento con L'origine in $A$ e l'asse $x$ coincidente con la retta $AB$. In tal modo la retta $AC$ passa per $O$ e ha coefficiente angolare $m=tan 60°=sqrt(3)$ e quindi ha equazione $y= sqrt(3)x$.
Unendo $P$ con $A$ e con $C$ ottengo un triangolo rettangolo in $P$ e per il teorema della corda, le coordinate di $P$ sono $(2rsenxcos x, 2r sen^2 x)$ dove con $x$ ho indicato l'angolo $P\hat AB$, $0
$d=(|2r(sqrt(3)senx cosx-sen^2x)|)/2$ e la distanza di $P$ da $AB$ è l'ordinata di $P$ cioè $2rsen^2 x$. Dunque la funzione che esprime la somma delle distanze è:
$y=sqrt(3)*rsenx cosx+rsen^2(x)$ e di essa devo cercare il massimo.
$y'=sqrt (3)r(cos^2(x)-sen^2(x))+2rsenx cosx=0$ dividendo per $r cos^2(x)$ ottengo l'equazione $sqrt(3)tan^2(x)-2tan(x)-sqrt(3)=0$ le cui soluzioni , mi pare, non sono accettabili.
Dov'è l'errore? this is the question. Grazie a chi mi darà una mano.
Su una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ si prenda un punto $C$ tale che $B\hat AC$ sia $60°$. Sull'arco $BC$ trovare il punto $P$ tale che sia massima la somma delle distanze di $P$ dalle rette $AC$ e $AB$.
Ho preso un sistema di riferimento con L'origine in $A$ e l'asse $x$ coincidente con la retta $AB$. In tal modo la retta $AC$ passa per $O$ e ha coefficiente angolare $m=tan 60°=sqrt(3)$ e quindi ha equazione $y= sqrt(3)x$.
Unendo $P$ con $A$ e con $C$ ottengo un triangolo rettangolo in $P$ e per il teorema della corda, le coordinate di $P$ sono $(2rsenxcos x, 2r sen^2 x)$ dove con $x$ ho indicato l'angolo $P\hat AB$, $0
$d=(|2r(sqrt(3)senx cosx-sen^2x)|)/2$ e la distanza di $P$ da $AB$ è l'ordinata di $P$ cioè $2rsen^2 x$. Dunque la funzione che esprime la somma delle distanze è:
$y=sqrt(3)*rsenx cosx+rsen^2(x)$ e di essa devo cercare il massimo.
$y'=sqrt (3)r(cos^2(x)-sen^2(x))+2rsenx cosx=0$ dividendo per $r cos^2(x)$ ottengo l'equazione $sqrt(3)tan^2(x)-2tan(x)-sqrt(3)=0$ le cui soluzioni , mi pare, non sono accettabili.
Dov'è l'errore? this is the question. Grazie a chi mi darà una mano.
Risposte
TeM:
[quote=gabriello47]Unendo $P$ con $A$ e con $C$ ottengo un triangolo rettangolo in $P$
Ciò è vero se e soltanto se \(P\equiv B\) e in tal caso il triangolo è rettangolo in \(C\).
Ovviamente ho sbagliato il testo: $P$ va unito con $A$ e $B$
@ gabriello47 credo che tu abbia fatto un po' di confusione, che cosa è $x$? L'ascissa o l'angolo $hat(PAB)$?
Mi sembra che tu abbia usato lo stesso simbolo per indicare due cose diverse.
Mi sembra che tu abbia usato lo stesso simbolo per indicare due cose diverse.
Mi sembra che, se $x=PhatAB$, sia:
$AP=2rcosx$;
la distanza di $P$ dalla retta $AB$
$PK=AP sinx=2rsinx cosx$;
la distanza di $P$ dalla retta $AC$
$PH=AP sin(pi/3-x)=2rcosx(sqrt(3)/2cosx-1/2sinx)=r(sqrt(3)cos^2x-sin x cos x)$.
Da cui
$y=PK + PH=r(sinx cos x+sqrt(3)cos^2x)=r[1/2sin2x+sqrt(3)/2(cos2x+1)]=$
$r/2[2sin(2x+pi/3)+sqrt(3)]$.
Il massimo della funzione si ha per
$2x+pi/3=pi/2->x=pi/12$.
$AP=2rcosx$;
la distanza di $P$ dalla retta $AB$
$PK=AP sinx=2rsinx cosx$;
la distanza di $P$ dalla retta $AC$
$PH=AP sin(pi/3-x)=2rcosx(sqrt(3)/2cosx-1/2sinx)=r(sqrt(3)cos^2x-sin x cos x)$.
Da cui
$y=PK + PH=r(sinx cos x+sqrt(3)cos^2x)=r[1/2sin2x+sqrt(3)/2(cos2x+1)]=$
$r/2[2sin(2x+pi/3)+sqrt(3)]$.
Il massimo della funzione si ha per
$2x+pi/3=pi/2->x=pi/12$.
L'avevo risolto anch'io così, senza scomodare la geometria analitica, che mi sembrava solo una complicazione del problema.
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