Un problema di geometria piana sui triangoli
Da un punto A partono due semirette (che dividono il piano in due zone), nella zona di piano con l'angolo acuto si prende un punto P. Si riporta su una delle due semirette un punto B tale che AB = AP. Poi si disegna la retta per P e B fino ad incontrare l'altra semiretta (delle due uscenti da A): questo punto di intersezione si chiama C. Si vuole dimostrare che il segmento AC è maggiore del segmento AB.
(mia idea: è facile dimostrare che l'angolo ABC è maggiore dell'angolo ACB. ma posso, da questo, dedurre che i rispettivi lati opposti (AC ed AB) nel triangolo ABC stanno nella stessa relazione, cioè appunto che AC è maggiore di AB? )
Chi mi da un suggerimento? Grazie, un saluto a tutti
(mia idea: è facile dimostrare che l'angolo ABC è maggiore dell'angolo ACB. ma posso, da questo, dedurre che i rispettivi lati opposti (AC ed AB) nel triangolo ABC stanno nella stessa relazione, cioè appunto che AC è maggiore di AB? )
Chi mi da un suggerimento? Grazie, un saluto a tutti
Risposte
ciao e benvenuto/a nel forum.
la strada è buona, infatti esiste il teorema:
Se un _triangolo ha due angoli disuguali ha pure disuguali i lati opposti e precisamente nello stesso senso
la strada è buona, infatti esiste il teorema:
Se un _triangolo ha due angoli disuguali ha pure disuguali i lati opposti e precisamente nello stesso senso
"wickie":
Da un punto A partono due semirette (che dividono il piano in due zone), nella zona di piano con l'angolo acuto si prende un punto P. Si riporta su una delle due semirette un punto B tale che AB = AP. Poi si disegna la retta per P e B fino ad incontrare l'altra semiretta (delle due uscenti da A): questo punto di intersezione si chiama C. Si vuole dimostrare che il segmento AC è maggiore del segmento AB.
(mia idea: è facile dimostrare che l'angolo ABC è maggiore dell'angolo ACB. ma posso, da questo, dedurre che i rispettivi lati opposti (AC ed AB) nel triangolo ABC stanno nella stessa relazione, cioè appunto che AC è maggiore di AB? )
Chi mi da un suggerimento? Grazie, un saluto a tutti
Per proseguire con la tua idea:
hai già fatto trigonometria, cioè sai cosa sono seno e coseno di un angolo?
Non credo che conosca la trigonometria.
poichè si tratta di una dimostrazione di geometria razionale, il suggerimento di piero è giusto
grazie a tutti!! e in particolare grazie a piero_ che mi ha accolta così calorosamente in questo forum...
intanto io ho proposto il problema di geometria anche ad un mio amico dell'università che mi ha dato la seguente dimostrazione -che vi scrivo perché la trovo bella! il suo nome è Andrea Palma, e questa la sua idea:
"Allora: il triangolo [tex]APB[/tex] è isoscele, dunque possiamo tracciare l'altezza [tex]AH[/tex] (il punto [tex]H[/tex] sul lato [tex]PB[/tex]) e tale altezza forma un angolo di [tex]90°[/tex] con [tex]PB[/tex]. Bene, entra in gioco il teorma di pitagora:
[tex]AC = \sqrt{AH^2 + HC^2}[/tex]
dato che [tex]HC = HP + PC[/tex] abbiamo [tex]HC > HP[/tex] (perché [tex]PC > 0[/tex])
allora [tex]HC^2 > HP^2[/tex] e pertanto [tex]AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} > \sqrt{AH^2 + HP^2}[/tex] ora l'ultimo termine (sempre per il teorema di pitagora) è proprio [tex]AP[/tex].
Conclusione [tex]AC > AP = AB[/tex], ovvero [tex]AC > AB[/tex]."
bella, no? -tra l'altro quest'idea si può riutilizzare per dimostrare il teorema che nominava piero_: "Se un triangolo ha due angoli disuguali ha pure disuguali i lati opposti e precisamente nello stesso senso"! ......
[mod="WiZaRd"]
Ho inserito i tag TeX per le formule ed ho cancellato il messaggio doppione del presente.
[/mod]
e in particolare grazie a piero_ che mi ha accolta così calorosamente in questo forum...intanto io ho proposto il problema di geometria anche ad un mio amico dell'università che mi ha dato la seguente dimostrazione -che vi scrivo perché la trovo bella!
il suo nome è Andrea Palma, e questa la sua idea:"Allora: il triangolo [tex]APB[/tex] è isoscele, dunque possiamo tracciare l'altezza [tex]AH[/tex] (il punto [tex]H[/tex] sul lato [tex]PB[/tex]) e tale altezza forma un angolo di [tex]90°[/tex] con [tex]PB[/tex]. Bene, entra in gioco il teorma di pitagora:
[tex]AC = \sqrt{AH^2 + HC^2}[/tex]
dato che [tex]HC = HP + PC[/tex] abbiamo [tex]HC > HP[/tex] (perché [tex]PC > 0[/tex])
allora [tex]HC^2 > HP^2[/tex] e pertanto [tex]AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} > \sqrt{AH^2 + HP^2}[/tex] ora l'ultimo termine (sempre per il teorema di pitagora) è proprio [tex]AP[/tex].
Conclusione [tex]AC > AP = AB[/tex], ovvero [tex]AC > AB[/tex]."
bella, no? -tra l'altro quest'idea si può riutilizzare per dimostrare il teorema che nominava piero_: "Se un triangolo ha due angoli disuguali ha pure disuguali i lati opposti e precisamente nello stesso senso"! ......[mod="WiZaRd"]
Ho inserito i tag TeX per le formule ed ho cancellato il messaggio doppione del presente.
[/mod]
di solito una dimostrazione come quella proposta dal tuo amico non può essere accettata nell'ambito della geometria razionale, in cui le dimostrazioni devono basarsi solo sulle proprietà delle figure e su teoremi già dimostrati. In questa dimostrazione invece vengono utilizzati i procedimenti tipici dell'algebra (ci sono delle radici quadrate) ed inoltre non viene tenuto conto del fatto che il teorema di Pitagora viene dimostrato successivamente rispetto alle disuguaglianze triangolari.
Spero che vorrai scusare la mia pignoleria, ma sono un'insegnante che ama molto la geometria razionale.
Spero che vorrai scusare la mia pignoleria, ma sono un'insegnante che ama molto la geometria razionale.
Io direi che la cosa che non va è il Teorema di Pitagora e non le radici quadrate.
Se non erro la geometria razionale contempla il concetto di misura, quindi non vedo problemi nelle readici.
Le disuguaglianze triangolari servono per speigare perché ha senso dire che il quadrato sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati sui cateti e, quindi, a dire che con Pitagora non si possono spiegare le disuguaglianze triangolari.
Se non erro la geometria razionale contempla il concetto di misura, quindi non vedo problemi nelle readici.
Le disuguaglianze triangolari servono per speigare perché ha senso dire che il quadrato sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati sui cateti e, quindi, a dire che con Pitagora non si possono spiegare le disuguaglianze triangolari.
"WiZaRd":
Io direi che la cosa che non va è il Teorema di Pitagora e non le radici quadrate.
Se non erro la geometria razionale contempla il concetto di misura, quindi non vedo problemi nelle readici.
La misura viene introdotta per poter risolvere i problemi di geometria con l'applicazione dell'algebra, ma non può essere utilizzata per le dimostrazioni di geometria razionale. Basta vedere, ad esempio, come tutti i teoremi che si dimostrano basandosi su quelli di Pitagora ed Euclide non ammettano la presenza dell'elevamento al quadrato(concetto algebrico), ma si dimostrino basandosi sul concetto di equivalenza tra quadrati (o quadrati e rettangoli) di determinato lato , che possono venire indicati come q(AB), se AB è il lato, e non con $AB^2$.
grazie a Nicole93 e WiZaRd per le vostre precisazioni! ...ecco un'altra dimostrazione:
il triangolo ABP è isoscele (poiché, per costruzione, AB=AP) e gli angoli ABP e APB sono uguali. quindi l'angolo ABP deve essere maggiore dell'angolo ACP (in quanto APB=ABP è un angolo esterno al triangolo ACP). vogliamo concludere che il lato AC (opposto all'angolo ABP) è maggiore del lato AB (opposto all'angolo ACP). supponiamo, per assurdo, che AC sia minore di AB. sia C' un punto sulla semiretta uscente da A e passante per B tale che AC'=AC. allora AC' è minore di AB (cioè il punto C' cade internamente al segmento AB). a questo punto osserviamo che l'angolo ACC' è minore dell'angolo ACB (in quanto ACB=ACC'+C'CB -come angoli) che a sua volta è minore dell'angolo ABP. d'altra parte il triangolo ACC' risulta essere, per costruzione, isoscele con angoli ACC' e AC'C uguali. ma AC'C=ACC' è maggiore dell'angolo C'BC (poiché AC'C è un angolo esterno al triangolo C'BC) e l'angolo C'BC coincide con l'angolo ABP. e questa è una contraddizione (l'angolo ACC' è sia minore che maggiore dell'angolo ABP -e le disuguaglianze sono strette)! pertanto deve essere necessariamente AC maggiore di AB.
A me sembra che non faccia una piega. fatemi sapere il vostro parere ciao
p.s. (per WiZaRd): ...come faccio per inserire lettere dell'alfabeto greco?
(lo scrivo in Word e faccio "copia-incolla"?!)
-grazie!!
...ecco un'altra dimostrazione:il triangolo ABP è isoscele (poiché, per costruzione, AB=AP) e gli angoli ABP e APB sono uguali. quindi l'angolo ABP deve essere maggiore dell'angolo ACP (in quanto APB=ABP è un angolo esterno al triangolo ACP). vogliamo concludere che il lato AC (opposto all'angolo ABP) è maggiore del lato AB (opposto all'angolo ACP). supponiamo, per assurdo, che AC sia minore di AB. sia C' un punto sulla semiretta uscente da A e passante per B tale che AC'=AC. allora AC' è minore di AB (cioè il punto C' cade internamente al segmento AB). a questo punto osserviamo che l'angolo ACC' è minore dell'angolo ACB (in quanto ACB=ACC'+C'CB -come angoli) che a sua volta è minore dell'angolo ABP. d'altra parte il triangolo ACC' risulta essere, per costruzione, isoscele con angoli ACC' e AC'C uguali. ma AC'C=ACC' è maggiore dell'angolo C'BC (poiché AC'C è un angolo esterno al triangolo C'BC) e l'angolo C'BC coincide con l'angolo ABP. e questa è una contraddizione (l'angolo ACC' è sia minore che maggiore dell'angolo ABP -e le disuguaglianze sono strette)! pertanto deve essere necessariamente AC maggiore di AB.
A me sembra che non faccia una piega. fatemi sapere il vostro parere
ciaop.s. (per WiZaRd): ...come faccio per inserire lettere dell'alfabeto greco?
(lo scrivo in Word e faccio "copia-incolla"?!)
-grazie!!
sì , mi sembra che il ragionamento fili, anche se non ne vedo la necessità, in quanto nel momento in cui dici che $AhatBP>AhatCP$ il teorema è già dimostrato (sempre per il solito teorema sulle disuguaglianze triangolari)
Un'ultima precisazione : ABP è isoscele per ipotesi, in quanto lo afferma l'enunciato del teorema, e non per costruzione (la costruzione ad esempio è quella che hai fatto tu quando hai preso C' su AB)
Comunque sia, se sei uno studente mi complimento con te per le tue capacità argomentative e per l'interesse che dimostri per questa parte della Matematica che viene (ahimè) sempre più bistrattata, ma che è fondamentale per lo sviluppo delle capacità logico-deduttive
Un'ultima precisazione : ABP è isoscele per ipotesi, in quanto lo afferma l'enunciato del teorema, e non per costruzione (la costruzione ad esempio è quella che hai fatto tu quando hai preso C' su AB)
Comunque sia, se sei uno studente mi complimento con te per le tue capacità argomentative e per l'interesse che dimostri per questa parte della Matematica che viene (ahimè) sempre più bistrattata, ma che è fondamentale per lo sviluppo delle capacità logico-deduttive
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