Un problema di Geometria

[gugo82]

Problema:

Sia \(\stackrel{\triangle}{ABC}\) un triangolo con \(\overline{AB}>\overline{BC}\).
Detto $P$ il punto d’intersezione tra \(\overline{AC}\) e la bisettrice di $\hat{B}$, mostrare che $P$ cade più vicino a $C$ che ad $A$.

[mgrau]

Prolunga BC fino a R in modo che BR = AB
Prolunga la bisettrice fino a Q
Da Q traccia la parallela a AC
Da R traccia la perpendicolare a AR fino a T
L'angolo AQB è retto
AQ = QR
I triangoli APQ e QTR sono uguali (scusa, ma proprio non mi va di dire "congruenti" )
AP = QT
AP > QS > PC

[gugo82]

Per risolvere, pensavo di procedere in qualche modo usando le disuguaglianze tra elementi dei triangoli.
Ad esempio, se traccio la mediana $\overline{BM}$ relativa alla base $\overline{AC}$, provare la tesi equivale a far vedere che $\overline{CP} <\overline{CM}$ oppure che $AP>AM$ ovvero che $\widehat{CBP}< \widehat{CBM}$... Si potrebbe usare in qualche modo il fatto che $\widehat{AMB}> \widehat{CMB}$?

[sandroroma]

A me pare sia sufficiente applicare il teorema della bisettrice interna di un triangolo:
$AP:PC=AB:BC$
Essendo per ipotesi AB>BC, dalla proporzione segue che $AP>PC$
C.V.D.

[gugo82]

"sandroroma":A me pare sia sufficiente applicare il teorema della bisettrice interna di un triangolo:
$AP:PC=AB:BC$
Essendo per ipotesi AB>BC, dalla proporzione segue che $AP>PC$
C.V.D.

Questo non lo conoscevo... Da dove esce?
Immagino che si possa provare facile con un po' di trigonometria, ma in una prima mi pare difficile.

[mgrau]

"gugo82":
Questo non lo conoscevo... Da dove esce?

La mia dimostrazione proprio non piace?