Un paio di dubbi nel verificare i limiti

[hellix08]

Per prima cosa mi presento dai, sono Elia e frequento un ITIS a Verona, indirizzo informatica, se vi chiedete perchè sto studiando matematica d'estate non è per un debito ma per un'altro tipo d'esame . Detto questo vorrei esporvi circa due/tre dubbi che ho nel procedimento di verifica del limite di una funzione che proprio non capisco, spero di riuscire ad esprimermi abbastanza chiaramente.

1) Sul mio libro un intorno viene definito come un intervallo aperto (\(\displaystyle x_{0} -a, x_{0} + a \)) scritto anche \(\displaystyle x_{0} -a < x < x_{0} +a \) con \(\displaystyle a > 0 \). E fin qui tutto chiaro, poi comincio a verificare il limite di una funzione, facciamo per esempio:

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2 \)

affinchè un limite \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x) \) con \(\displaystyle x_{0} \) finito sia verificato, è richiesto che la soluzione di \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \) contenga un intorno di \(\displaystyle x_{0} \), quindi comincio a risolvere la disequazione:

\(\displaystyle |\sqrt{x}-2|<\epsilon \)

\(\displaystyle -\epsilon < \sqrt{x} - 2 < \epsilon \)

\(\displaystyle 2 -\epsilon < \sqrt{x} < 2 + \epsilon \)

\(\displaystyle (2 -\epsilon)^2 < x < (2 + \epsilon)^2 \)

\(\displaystyle 4+\epsilon^2-4\epsilon < x < 4+\epsilon^2+4\epsilon \)

e qui, nonstante l'esercizio sia finito e corretto e il limite sia verificato, sorge il primo dei miei dubbi , prima abbiamo detto che un intorno di \(\displaystyle x_{0} \) è un intervallo aperto \(\displaystyle x_{0} -a < x < x_{0} +a \), se confrontiamo questa definizione con la soluzione si vede subito che essa pare essere simile alla soluzione stessa, questo perchè la soluzione è un intorno ed è proprio quello che cercavamo, possiamo intuire che in questo caso \(\displaystyle x_{0}=4 \) (Anche se su questo ho un'altro dubbio che spiegherò dopo), quindi "riempiendo" la definizione di intorno utilizzando \(\displaystyle x_{0}=4 \) abbiamo \(\displaystyle 4 -a < x < 4 +a \).
A me sorge quindi ovvio pensare che: sapendo che la seconda disequazione \(\displaystyle x < 4 + \epsilon^2+4\epsilon \) segue lo schema \(\displaystyle x < x_{0} +a \), e che \(\displaystyle x_{0}=4 \), allora tutto quello che rimane dovrebbe essere \(\displaystyle a \), e quindi penso che \(\displaystyle a= \epsilon^2+4\epsilon\)



E' qui qualcosa non torna, potrei pensare che sostituendo \(\displaystyle x_{0} \) e \(\displaystyle a \) in \(\displaystyle x_{0} -a < x \) posso ricavarmi la prima disequazione dell'intorno ma se provo a farlo trovo \(\displaystyle 4 - \epsilon^2-4\epsilon < x \) che però è diverso da quello che ho trovato all'inizio e cioè \(\displaystyle 4+\epsilon^2-4\epsilon < x \).

Per riassumere e possibilmente chiarire: quando nell'esercizio trovo \(\displaystyle 4+\epsilon^2-4\epsilon < x < 4+\epsilon^2+4\epsilon \), sembra quasi che questa soluzione non corrisponda alla definizione di intorno perchè la \(\displaystyle a \) della prima disequazione sembra essere diversa da quella della seconda, mi spiego? Invece di essere \(\displaystyle x_{0} -a < x < x_{0} +a \) come un intorno dovrebbe essere, sembra invece qualcosa del genere \(\displaystyle x_{0} -a < x < x_{0} +b \). Come mai? Come fa ad essere un'intorno una cosa del genere? Dove sbaglio in questo ragionamento? Per carità, l'esercizio è giusto, però mi piacerebbe capire anche questi dettagli.

2) Un'altro dubbio che ho è questo: quando ho \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \) io proseguo togliendo il modulo e quindi creando un sistema di due disequazioni che possiamo anche "compattare" in un'unica espressione come ho fatto nell'esempio precedente implicitamente, poi "raffino" questa espressione in modo da avere solo \(\displaystyle x \) al centro. Seguendo la definizione di intorno per verificare un limite dovrei aver ottenuto qualcosa del tipo \(\displaystyle x_{0} -\epsilon < x < x_{0} +\epsilon \). A questo punto considero l'esercizio finito e se l'\(\displaystyle x_{0} \) che trovo è uguale a quello definito dal limite allora il limite è verificato, ma se invece risolvo \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt{x}=4 \) mi accorgo che l'\(\displaystyle x_{0} \) definito dal limite è 4 che però non è uguale a quello che trovo risolvendo \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \) e cioè \(\displaystyle 16 + \epsilon^2-8\epsilon < x < 16 + \epsilon^2+8\epsilon \) perchè infatti qui l'\(\displaystyle x_{0}=16 \) e \(\displaystyle 4 \neq 16 \), quindi dico che quel limite non è verificato.

Tutto questo per dire che sembra utile capire quanto vale \(\displaystyle x_{0} \) per vedere se corrisponde con quello dichiarato dal limite, io finora sono andato ad intuito a capire quale parte di una delle due disequazioni sia \(\displaystyle x_{0} \) ma esiste un metodo rigoroso per farlo? Se avessi un intorno un po più complicato da immaginare" come ad esempio \(\displaystyle \sqrt{4-\epsilon}
3) Il terzo è probabilmente il più breve da spiegare, quando risolvo \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \) e arrivo all'intorno con le due disequazioni, è necessario fare l'intersezione con il dominio di f(x) oppure no?

Scusate per il post chilometrico ma non dormo la notte se ho questi dubbi XD, spero di essermi spiegato con chiarezza e che qualcun'altro oltre a me sia mai arrivato a pensare tali mostruosità cosicchè mi possa rispondere . Grazie!

[StellaMartensitica]

Parto a rispondere dal terzo quesito: Per svolgere l'esercizio di verifica in modo canonico, fare ciò si rende necessario, Ma in alcuni casi può essere un passaggio inutile.
Per capire meglio ti consiglio di provare a verificare il limite $\lim_{x \to 1^(-)}ln(1-x)=-\infty$

Per quanto riguarda il primo quesito, da esso traspare il fatto che tu hai confuso la definizione di intorno con quella di intorno circolare. Un intorno di $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto contenente $x_0$.
Un intorno circolare è (come dice il nome) un intorno, ma del tipo che hai specificato tu, quindi del tipo $ ]x_0- \delta, x_0+\delta[ $ .
Nel tuo caso l'intorno che trovi è proprio un intorno non circolare (del tipo $ ]x_0-\delta_1,x_0+\delta_2[ , \delta_1>0 ^^ \delta_2>0 $ )
ma ciò non pregiudica la veridicità del limite, come tu stesso hai notato.

In definitiva: la definizione di limite parla di intorni di $x_0$, non specifica se tali intorni debbano essere circolari o meno.

Per quanto riguarda il quesito numero 2, credo che la domanda di fondo sia:
Si può capire a che cosa tende la x (cioè quanto vale $x_0$ ) noto l'intorno di x che ottengo sviluppando $|f(x)-l|< \varepsilon$ ? La risposta, a mio avviso, è no, almeno in generale. In diversi casi,però, risulta semplice intuire il valore.
Anche in questi casi per conoscere inequivocabilmente $x_0$ o gli $x_0$ ti conviene porre f(x)=l e risolvere in x, vedendo che succede.
Ciao.

[axpgn]

Per quanto riguarda il primo punto basti notare che se è vero che $x_0-a

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