Un limite da risolvere

[Shalan]

ciao a tutti.
qualcuno mi spiega come risolvere il

[math]\lim_{x \rightarrow 0}[/math]

[math]\frac{log(x+1)}{x^2+1}[/math]

dovrebbe uscire 1 mi sa

[romano90]

provo a sostituire

[math]\lim_{x \to 0} \frac{log(x+1)}{x^2+1}
\\ \frac{log(0+1)}{0^2+1}
\\ \frac{log(1)}{1}[/math]

ora credo che log intenda log in base dieci anche se non cambia con "e".. quindi qual è l'esponente da dare a 10 per ottenere 1?

[math]10^x=1 \rightarrow x=0[/math]

quindi credo venga...

[math]\frac{0}{1}= 0[/math]

[Shalan]

scusa ho sbagliato.. il denominatore è

[math]x^2+x[/math]

[romano90]

ah lol


vediamo allora...

[math]\lim_{x \to 0} \frac{log(x+1)}{x^2+x}[/math]

sostituendo viene:

[math]\frac{0}{0}[/math]

quindi forma indeterminata...

provo a scogliere l'indeterminazione con la Regola di de l'Hôpital..

quando si ha un indeterminazione tipo

[math]\frac{0}{0} \; ; \; \frac{\infty}{\infty}[/math]

puoi fare la derivata del numeratore e del denominatore e sostituisci la x. se hai ancora una forma indeterminata puoi andare avanti... altrimenti ti fermi..

vediamo :

[math]\frac{D(log(x+1)}{D(x^2+x)} = \frac{\frac{1}{x+1}*1}{2x+1} = \frac{2x+1}{x+1}
\\ x \to 0 \rightarrow \frac{2*0+1}{0+1}= 1 [/math]

[mat200289]

con l'approssimazione di Mc Laurin del primo ordine del log(1+x) viene:

lim x-->0 di x/x^2+x = 1/x+1=1

;) spero di essere stato di aiuto

[ciampax]

Non vi state scervellando un po' troppo? Molto più semplicemente, dal limite notevole

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(x+1)}{x}=1[/math]

segue

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(x+1)}{x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(x+1)}{x(x+1)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x+1}=1.[/math]