Un limite con valore assoluto

[login2]

Buonpomeriggio a tutti...tentacoli di disegnare una funzione :
y=(x+2)/(|x|-2) ho trovato il campo di esistenza : tutto R -{+2,-2}

Dunque voglio vedere come si comporta quando x tende a -2 , allora faccio il limite destro per x che tende a -2 e il limite sinistro per x che tende a -2 ma mi trovo una forma 0/0 che non riesco a togliere ...tra l'altro |-2|-2 =0 vero?

[Zero87]

Quando fai il limite per $x->x_0$ vuol dire che "ti stai avvicinando" a quel valore in cui la funzione ha qualcosa di interessante (dipende dai punti di vista ) da scoprire.

In certi casi si può supporre di essere piuttosto vicini al valore che si studia, dal momento che si fa l'operazione di limite: diciamo, nella fattispecie, di essere in un intervallo $[-2-\delta, -2+\delta]$ con $0<\delta<1$ tanto per essere anche sin troppo larghi.

Sotto queste condizioni, si può direttamente sostituire $|x|$ con $-x$ nell'operazione di limite, essendo la x negativa nell'intorno di $-2$ che consideriamo nel fare l'operazione di limite.

... ora vedi cosa succede!

Una precisazione: nel fare un ragionamento simile quando si ha a che fare con i moduli, bisogna stare attenti. In questo caso si può togliere il modulo senza problemi - ovviamente facendolo nel modo giusto - perché si è sufficientemente lontani dal punto in cui l'argomento del valore assoluto cambia di segno (nel nostro caso lo zero).
Se, però, si ha a che fare con un limite sul punto stesso dove la quantità nel modulo cambia segno, bisogna per forza distinguere tra limite destro e sinistro: in quel caso, però, non c'è un grosso problema perché si può supporre che tendendo da destra il modulo sia positivo/negativo ed il viceversa da sinistra (a seconda dei casi). Quindi, in quel caso, il modulo andrà tolto con due risultati a seconda della quantità con cui si ha a che fare nel limite destro e sinistro.

[@melia]

Giuro che non capisco il tuo problema

$y=(x+2)/(|x|-2)$ per $x->-2$ hai che $|x|=-x$ perché l'argomento del modulo è negativo, quindi l'esercizio diventa

$y=(x+2)/(-x-2)=-(x+2)/(x+2)=-1$

[login2]

Ecco il problema...mi vergogno a dirlo ma non capisco perché |x|=-x
Se il valore assoluto toglie il segno ed e positivo perché viene -x?
Lo so mi manca proprio la base di un concetto elementare...ma vorrei capire e non impararlo a memoria

[garnak.olegovitc1]

Salve login,

"login":Ecco il problema...mi vergogno a dirlo ma non capisco perché |x|=-x
Se il valore assoluto toglie il segno ed e positivo perché viene -x?
Lo so mi manca proprio la base di un concetto elementare...ma vorrei capire e non impararlo a memoria

è proprio la def. di valore assoluto, mi sa che devi ripassartela http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_assoluto.
Cordiali saluti

[login2]

Ho già controllato su Wikipedia ma non ho capito molto...grazie lo stesso cercherò di capire andandolo a consultare altri libri (

[garnak.olegovitc1]

Salve login,

"login":Ho già controllato su Wikipedia ma non ho capito molto...

non vi è nulla da capire, è una definizione e basta. Non capisco che cosa non hai capito
Cordiali saluti

[@melia]

Proviamo così:
x è un numero relativo, quindi dotato di segno. Se x è negativo come fai a togliergli il segno? Non c'è alcun modo. Allora, invece di togliere il segno, gliene aggiungi un altro in modo da renderlo inoffensivo.

Il $|-5|=-(-5)=5$ perché qui stai lavorando con un numero e puoi giocare con i segni come vuoi, ma se tu avessi $|x|$ con $x<0$ dovresti scrivere $|x|=-x$ e aggiungere un meno per rendere inoffensivo in $-$ che è dentro alla $x$ e che non puoi togliere.

[Zero87]

"@melia":Proviamo così:
x è un numero relativo, quindi dotato di segno. Se x è negativo come fai a togliergli il segno? Non c'è alcun modo. Allora, invece di togliere il segno, gliene aggiungi un altro in modo da renderlo inoffensivo.

Provo a spiegarlo in parole diverse. Al liceo ci dicono "il valore assoluto di un numero restituisce il valore del numero privo di segno". Ora, sebbene sia corretta questa definizione, all'inizio non ci si capisce quando ti trovi di fronte ad una cosa del tipo
$|x|=-x$ per $x<0$
perché ci metti quel meno davanti.

Il punto è che quando hai a che fare con i numeri relativi, come diceva @melia, hai a che fare con un segno. Se il numero è positivo, il segno si omette, giacché scrivi $4$ o $5$ in luogo di $+4$ o $+5$ mentre se il numero è negativo, resta con il segno meno davanti ($-4$ ad esempio).

Il valore assoluto (secondo me) è uno di quei concetti basilari che è difficile spiegare semplicemente proprio perché è alla base di tante altre cose. Potrei dirti, terra-terra, che il valore assoluto mi restituisce sempre un valore positivo e che mi da, diciamo, la parte positiva del numero relativo con cui hai a che fare.
La frase che ho appena detto è un po' contorta: se ti dà più problemi di quelli che risolve, passa oltre!

Se, quindi, hai $x$ un numero qualsiasi devi distinguere i due casi perché, come detto da @melia, devi togliergli il segno.
- se $x>0$ vuol dire che $x$ è positivo (o senza segno, tanto per ricalcare quanto detto), quindi togli il valore assoluto senza problemi;
- se $x<0$ vuol dire che il numero è negativo e qualche problema si crea: togliendogli il valore assoluto, devi fare in modo che ciò che resti sia positivo e ci si aggiunge il segno meno (potrei citare il sempreverde meno per meno fa più).

Quindi
- se $x>0$, $|x|=x$ perché non ci sono problemi di sorta in quanto il numero è già positivo
- se $x<0$, $|x|=-x$ perché se $x<0$, $-x>0$.

Manca una cosa, $x=0$? Ora, poiché $0=+0=-0$ [da non confondere con cose completamente diverse come $0^+$ e $0^-$] il caso $x=0$ lo si accorpa con uno dei due precedenti (in genere $x>0$ e si ha "se $x>=0$ allora $|x|=x$")...