Un gioco matematico su massimi e minimi?

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Salve a tutti ho un quesito sui massimi e minimi che non riesco a risolvere

[gio73]

io ragionerei così:
Silas dimostra teoremi quando non dorme e quando non beve caffè, di conseguenza ha a disposizione questo tempo (5 minuti sono 1/12 d'ora, no?): $24h-s-1/12h*c$.
Di conseguenza il numero di teoremi dimostrati ogni giorno è $f(x)=(s+lnc)(24h -s - 1/12hc)$

[@melia]

Correggo la funzione postata da gio73 togliendo h, che è l'unità di misura e non una variabile, e indicando nella funzione le variabili utilizzate $s$ e $c$:
$f(s,c)=(s+lnc)(24 -s - 1/12c)$
Adesso si tratta di trovare il massimo di una funzione in due variabili.

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la funzion

[gio73]

Allora io penserei così:
le nostre due variabili, s (ore di sonno in un giorno) e c (numero di caffè bevuti in una giornata) hanno dei limti (inferiore e superiore), cioè Silas può dormire un minimo di 0 ore e un massimo di 24 ore, inoltre può prendere un minimo di 0 caffè e un massimo di $24*12$ caffè, inoltre il numero di caffè dovrà essere intero, non prenderà mica 7/15 di caffè o $sqrt2$ caffè?
Per chiarirmi meglio le idee poi farei qualche tentativo ponendo s costante: ad esempio quanti caffè dovrebbe prendere per dimostrare il massimo numero di teoremi se dormisse 6h? Lo stesso farei con 7 h di sonno, poi 8h e ancora 9h (io sono una dormigliona!).
E' un po' come tagliare a fette la nostra funzione e vedere cosa succede.

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g

[@melia]

Ho fatto in questo modo: ho supposto c costante e ho calcolato la derivata in funzione di s, l'ho posta uguale a 0 controllando con il segno che fosse un massimo e trovando la condizione su s che rende massima la funzione rendimento. Quindi ho sostituito il valore di s trovato nella funzione iniziale, che dopo la sostituzione dipende solo da c, l'intenzione era di risolvere la questione di c con una tabella, visto che c può essere solo un numero intero tra 0 e 288, poi ho cambiato idea. Ho calcolato la derivata in funzione di c e ho ottenuto che questa si annulla per $c=12$ e per altri valori di c fuori dal dominio. Ho controllato con i segni che 12 fosse un massimante della funzione.
Non credo che questo procedimento sia del tutto ortodosso, ma non è neppure sbagliato, forse qualche volta non porta da nessuna parte.

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Grazie per la risposta melia , almeno una conferma seppur parziale, ho fatto anche io la derivata rispetto a c , in realtà avevo usato il gradiente alla fine quindi ho calcolato le due derivate parziali rispetto a s e rispetto a c, poi le ho poste uguali a 0 e infine le ho messe a sistema per trovare la cordinate del punto di massimo( o minimo), solo che ottengo una equazione impossibile per me da risolvere con metodi elementari che è la seguente
c^2-12clnc-310c+24lnc+6336=0
A questo punto per trovare c l'ho disegnata con wolframalpha e alla fine ho trovato che x è circa 19..invece il risultato dovrebbe essere 12..aquesto punto mi chiedo hai fatto la stessa cosa? Perchè non ho capito bene ciò che hai fatto per trovarti 12
ci sto perdendo la testa con questo problema misà che mi stampo la tebella con excel

[@melia]

$f(s,c)=(s+lnc)(24 -s - 1/12c)$
ho supposto c costante e ho calcolato la derivata in funzione di s
$f'_s=24-2s-1/12c-lnc$
l'ho posta uguale a 0 controllando con il segno che fosse un massimo
$s=12-1/24c-1/2lnc$ è un massimante della funzione, con la condizione $0<=s<=24$
ho sostituito il valore di s trovato nella funzione iniziale che, dopo la sostituzione, dipende solo da c
$f(c)=(12-1/24c+1/2 ln c)^2$
Ho calcolato la derivata in funzione di c
$f'(c)=2(12-1/24c+1/2 ln c)*(-1/24+1/2c)=2(12-1/24c+1/2 ln c)*(12-c)/(24c)$
Il primo fattore si annulla solo fuori dal dominio, il denominatore pure, quindi l'unico fattore che si annulla per $0

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melia sei un autentico genio! Grazie mille derivando rispetto a s e poi sostituendo nella funzione iniziale tutto diventa molto semplice e non ci sono calcoli astrusi e sopratutto e alla portata degli strumenti analitici che possiedo! Davvero una fantastica intuizione, ancora grazie, ci ho perso una giornata ma ne è valsa la pena

[giammaria2]

Alla splendida soluzione di @melia vorrei aggiungere due osservazioni.
1) E' inutile cercare quando si annulla il primo fattore: in quei casi si annulla anche $f(c)$ e quindi non è certo il massimo cercato.
2) Nel testo, alla domanda finale si sarebbe dovuto aggiungere "e quante ore avrebbe dovuto dormire". Così com'è, $s$ può anche essere una costante e in quel caso la risposta sarebbe "Dipende da quante ore dorme; i dati sono incompleti"