Un denominatore può $in ZZ-{0}$?
Salve. Il nuovo professore di matematica ha detto una cosa che mi ha lasciato perplesso. Definisce in questo modo il numero razionale: "Un numero che può essere portato alla forma $m/n$ con $m in ZZ, n in NN_0$. Io questa cosa che il denominatore non può essere un numero intero relativo, non l'avevo mai sentita. Perché il denominatore dev'essere per forza naturale? 
Risposte
Due classi contigue, cioè insiemi di numeri e blablabla, ma ho usato ancora una volta la parola "numero" nella sua stessa definizione, non se ne esce!
Comunque oggi, sempre restando nel tema di numeri reali, il professore mi ha definito la potenza ad esponente reale: $a^n, n in RR$. I punti che mi hanno turbato notevolmente sono:
1) La potenza ha senso solo se $a>0$. E allora qua potevo pensare all'eventualità di, ad esempio, $(-2)^(1/2)=sqrt(-2)$, che è impossibile, nel campo dei reali. Ma se io avessi $(-2)^(1/3)$, questa scrittura ha sensissimo anche se la base della potenza è negativa! Perché ha imposto questa speciale condizione?
2) ha detto che per trovare, ad esempio, $a^(pi)$ , bisogna elevare $a$ a tutti i membri delle due classi contigue separate da $pi$. Ma non ho capito nulla, come si fa a dire una cosa del genere?
Comunque oggi, sempre restando nel tema di numeri reali, il professore mi ha definito la potenza ad esponente reale: $a^n, n in RR$. I punti che mi hanno turbato notevolmente sono:
1) La potenza ha senso solo se $a>0$. E allora qua potevo pensare all'eventualità di, ad esempio, $(-2)^(1/2)=sqrt(-2)$, che è impossibile, nel campo dei reali. Ma se io avessi $(-2)^(1/3)$, questa scrittura ha sensissimo anche se la base della potenza è negativa! Perché ha imposto questa speciale condizione?
2) ha detto che per trovare, ad esempio, $a^(pi)$ , bisogna elevare $a$ a tutti i membri delle due classi contigue separate da $pi$. Ma non ho capito nulla, come si fa a dire una cosa del genere?
"Tacito":
Due classi contigue, cioè insiemi di numeri e blablabla, ma ho usato ancora una volta la parola "numero" nella sua stessa definizione, non se ne esce!
Comunque oggi, sempre restando nel tema di numeri reali, il professore mi ha definito la potenza ad esponente reale: $a^n, n in RR$. I punti che mi hanno turbato notevolmente sono:
La parte più importante del messaggio l'avresti dovuta scrivere al posto di quel "blablabla"
1) La potenza ha senso solo se $a>0$. E allora qua potevo pensare all'eventualità di, ad esempio, $(-2)^(1/2)=sqrt(-2)$, che è impossibile, nel campo dei reali. Ma se io avessi $(-2)^(1/3)$, questa scrittura ha sensissimo anche se la base della potenza è negativa! Perché ha imposto questa speciale condizione?
Forse il 25% dei messaggi nel forum, contengono domande su questo specifico dubbio; fai una ricerca e troverai tantissimo materiale
2) ha detto che per trovare, ad esempio, $a^(pi)$ , bisogna elevare $a$ a tutti i membri delle due classi contigue separate da $pi$. Ma non ho capito nulla, come si fa a dire una cosa del genere?
Ma vi ha spiegato bene cosa è una classe, quando due classi si dicono contigue?
Sì, ce lo ha spiegato. Dati due insiemi infiniti di numeri reali A e B, diremo che essi sono classi contigue se rispondono a due proprietà:
1) Sono separate: cioè se qualsiasi elemento di A è minore di ogni elemento di B e vicecersa;
2) Proprietà dell'avvicinamento indefinito (con $epsilon$ piccolo a piacere...)
1) Sono separate: cioè se qualsiasi elemento di A è minore di ogni elemento di B e vicecersa;
2) Proprietà dell'avvicinamento indefinito (con $epsilon$ piccolo a piacere...)
Specifica la 2 poi passerò a sfumare i tuoi dubbi! 
scusate se intervengo sono poco esperto in queste scritture, come si legge $in ZZ - {0}$ ?
denominatore può appartenere ai numeri naturali e poi ?
denominatore può appartenere ai numeri naturali e poi ?
... il denominatore appartiene all'insieme dei numeri interi escluso (meno) lo [tex]$0$[/tex].
La proprietà dell'avvicinamento indefinito cioè che, se viene preso un $epsilon$ reale positivo (piccolo a piacere), si trova sempre un elemento in A ed uno in B, la cui differenza sia minore dell'$epsilon$ prefissato.
Muoio dalla curiosità
Muoio dalla curiosità
@ j18eos: mah, magari non saperli a memoria, ma sapere che esistono e soprattutto sentire la necessità di una definizione rigorosa, mi sembra alquanto importante per un matematico.
Tacito a me pare che il tuo professore voglia esagerare un po'
per capire la definizione di esponenziazione reale bisogna aver capito molto ma molto bene il concetto di classi contigue, e anche un po' di altre cose.
insomma se abbiamo $k>=0$ e vogliamo definire $k^r$ con $r in RR$ allora sarà "semplicemente" così:
diamo la definizione di $k^q$ con $q inQQ$. come saprai, è semplice da fare.
Poi:
siano $A,B$ le classi contigue separate da $r$. costruiamo i due insiemi:
$bar{A}={k^(a)$ tale che $a in A nn QQ}$
$bar{B}={k^(b)$ tale che $b in B nn QQ}$
allora $k^r$ sarà l'elemento separatore delle classi $bar{A},bar{B}$
si sottintendono un po' di proprietà della funzione esponenziale e il fatto che $QQ$ è denso in $RR$, ma va beh, diamo tutto per buono.
secondo me un esempio sarebbe molto esplicativo. prova.
Tacito a me pare che il tuo professore voglia esagerare un po'
per capire la definizione di esponenziazione reale bisogna aver capito molto ma molto bene il concetto di classi contigue, e anche un po' di altre cose.
insomma se abbiamo $k>=0$ e vogliamo definire $k^r$ con $r in RR$ allora sarà "semplicemente" così:
diamo la definizione di $k^q$ con $q inQQ$. come saprai, è semplice da fare.
Poi:
siano $A,B$ le classi contigue separate da $r$. costruiamo i due insiemi:
$bar{A}={k^(a)$ tale che $a in A nn QQ}$
$bar{B}={k^(b)$ tale che $b in B nn QQ}$
allora $k^r$ sarà l'elemento separatore delle classi $bar{A},bar{B}$
si sottintendono un po' di proprietà della funzione esponenziale e il fatto che $QQ$ è denso in $RR$, ma va beh, diamo tutto per buono.
secondo me un esempio sarebbe molto esplicativo. prova.
Mmm...
Ad esempio se io avessi $3^sqrt(2)$, come dovrei comportarmi?
Ad esempio se io avessi $3^sqrt(2)$, come dovrei comportarmi?
esattamente come ti ho detto.
ricavi le classi contigue separate da $sqrt(2)$ chiamiamole $A,B$
come saranno fatte? in $A$ ci sono i numeri da $-infty$ a $sqrt(2)$ escluso quindi ad esempio ci sono i numeri:
$-52$ ; $0$ ; $1$ ; $1,4$ ; $1,41$ ; $1,414$ ; $1,4142$ eccetera capito?
in $B$ ad esempio ci sono: $1,4143$ ; $1,415$ , $2$ ma anche $56$ ecc.
ovviamente ci interessano i numeri vicini a $sqrt(2)$ per costruire $bar{A}$ e $bar{B}$
ad esempio in $bar{A}$ che elementi ci sono?
tutti quelli del tipo: $3^(a)$ dove $a$ è un elemento di $A$
ad esempio in $bar{A}$ ci sono i numeri $3^(1,4)=4,655536...$ o anche $3^(1,4142)=4,7287...$ ma anche $3^0=1$
in $bar{B}$ invece ci sono ad esempio: $3^(1,415)=4,7328...$ ma anche $3^(12)=531441$
capito? l'elemento separatore di $bar{A}$ e $bar{B}$ è proprio $3^(sqrt(2))$
ricavi le classi contigue separate da $sqrt(2)$ chiamiamole $A,B$
come saranno fatte? in $A$ ci sono i numeri da $-infty$ a $sqrt(2)$ escluso quindi ad esempio ci sono i numeri:
$-52$ ; $0$ ; $1$ ; $1,4$ ; $1,41$ ; $1,414$ ; $1,4142$ eccetera capito?
in $B$ ad esempio ci sono: $1,4143$ ; $1,415$ , $2$ ma anche $56$ ecc.
ovviamente ci interessano i numeri vicini a $sqrt(2)$ per costruire $bar{A}$ e $bar{B}$
ad esempio in $bar{A}$ che elementi ci sono?
tutti quelli del tipo: $3^(a)$ dove $a$ è un elemento di $A$
ad esempio in $bar{A}$ ci sono i numeri $3^(1,4)=4,655536...$ o anche $3^(1,4142)=4,7287...$ ma anche $3^0=1$
in $bar{B}$ invece ci sono ad esempio: $3^(1,415)=4,7328...$ ma anche $3^(12)=531441$
capito? l'elemento separatore di $bar{A}$ e $bar{B}$ è proprio $3^(sqrt(2))$
Mamma mia, ci vuole uno sforzo mentale non indifferente, però. O sono idiota io?
[mod="WiZaRd"]Non offendiamo gli abitanti della Mongolia o i bambini down volgarmente chiamati come i suddetti abitanti. Grazie.[/mod]
[mod="WiZaRd"]Non offendiamo gli abitanti della Mongolia o i bambini down volgarmente chiamati come i suddetti abitanti. Grazie.[/mod]
"j18eos":
Finché non ci siano contraddizioni in matematica tutto vabbene!
Secondo il formalismo di tale docente la seguente frazione [tex]$\frac{1}{-2}$[/tex] non è un numero razionale almenoché non la si trasformi in modo "miracoloso" in [tex]$\frac{-1}{2}$[/tex]; ecco il mio dissenso nel formalismo!
Il modo miracoloso corrisponde alla proprietà invariantiva della divisione, basta moltiplicare sia dividendo che divisore per $-1$.
"Tacito":
Mamma mia, ci vuole uno sforzo mentale non indifferente, però. O sono idiota io?
questione di pratica e abitudine. io queste cose le studio all'università, è ovvio che mi vengano facili.
per chi le vede la prima volta ci vuole un po' di impegno, ma non è niente di impossibile.
La cosa che mi sorprende è constatare quanto tutto questo sia squisitamente "inutile", nel senso migliore del termine, almeno nei miei ristretti ambiti di conoscenza di tre anni di liceo scientifico. Magari per te questa sarà la cosa più importante di tutta la matematica, ma allora sarebbe colpa della mia gretta ignoranza
è importante perchè è fondamentale, ma è davvero roba tremendamente semplice rispetto alla matematica avanzata.
se poi sia inutile non lo so. ad esempio le calcolatrici fanno così per fare le potenze, e in generale è l'unico modo per fare le potenze.
inoltre sono concetti che aiutano a sviluppare un "sesto senso" logico che aiuta molto in tutto quello che si fa. e non credo sia una cosa inutile.
diciamo che sì, dopo soli tre anni di liceo è presto per comprendere a fondo alcune cose, avrai tempo!
se poi sia inutile non lo so. ad esempio le calcolatrici fanno così per fare le potenze, e in generale è l'unico modo per fare le potenze.
inoltre sono concetti che aiutano a sviluppare un "sesto senso" logico che aiuta molto in tutto quello che si fa. e non credo sia una cosa inutile.
diciamo che sì, dopo soli tre anni di liceo è presto per comprendere a fondo alcune cose, avrai tempo!
@dreamager: il docente ipotizza che il denominatore sia un numero naturale non nullo! Leggi bene tutto il thread. Grazie.
"j18eos":
@dreamer: il docente ipotizza che il denominatore sia un numero naturale non nullo! Leggi bene tutto il thread. Grazie.
Ipotizza che si possa ricondurre a quella forma.
Comunque il mio modo di di avertelo detto era un pò saccente e stile presa-per-i-fondelli, avrei potuto non scrivere la parte 'il tuo metodo miracoloso...', scusa.
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