Un calcolo
Tre numeri x,y,z soddisfano le relazioni:
${(x+y+z=3),(x^2+y^2+z^2=1),(x^3+y^3+z^3=-3):}$
Calcolare i possibili valori dell'espressione $3x+4y^2+5z^3$
${(x+y+z=3),(x^2+y^2+z^2=1),(x^3+y^3+z^3=-3):}$
Calcolare i possibili valori dell'espressione $3x+4y^2+5z^3$
Risposte
Una volta l'utente Bruno (che saluto!) ci ha reso edotti del fatto che sistemi del tipo
${(x+y+z=3p),(x^2+y^2+z^2=q),(x^3+y^3+z^3=3pq-6p^3):}$
ammettono come soluzioni le permutazioni della terna $(p,p-sqrt((3q-(3p)^2)/6),p+sqrt((3q-(3p)^2)/6))$.
Il sistema di Licio fa parte di questa categoria, dunque le sue soluzioni sono le permutazioni di
$(1,1+j,1-j)$. Permutando i tre numeri nell'espressione $3x+4y^2+5z^3$ si ottengono i valori
$-7pm2j$, $-3pm7j$, $8pm5j$.
${(x+y+z=3p),(x^2+y^2+z^2=q),(x^3+y^3+z^3=3pq-6p^3):}$
ammettono come soluzioni le permutazioni della terna $(p,p-sqrt((3q-(3p)^2)/6),p+sqrt((3q-(3p)^2)/6))$.
Il sistema di Licio fa parte di questa categoria, dunque le sue soluzioni sono le permutazioni di
$(1,1+j,1-j)$. Permutando i tre numeri nell'espressione $3x+4y^2+5z^3$ si ottengono i valori
$-7pm2j$, $-3pm7j$, $8pm5j$.
Complimenti ad entrambi....
Resta comunque da stabilire come arrivare a quelle formule,che
era poi lo scopo principale del quesito.
P.S. per Elgiovo.
Sto per terminare quel lavoro:sarai il primo a valutarlo
( spero nella tua benevolenza...
)
Resta comunque da stabilire come arrivare a quelle formule,che
era poi lo scopo principale del quesito.
P.S. per Elgiovo.
Sto per terminare quel lavoro:sarai il primo a valutarlo
( spero nella tua benevolenza...
)
Sempre tempo fa ho risolto un problema simile con lunghi e tediosi calcoli, poi però
l'utente... Karl ha illustrato una soluzione rapida, che ora si può rendere generale:
da $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz=q$ si ottiene $xy+xz+yz=((3p)^2-q)/2$.
Dall'identità $x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz)]$
è facile ricavare che $xyz=(p(5p^2-q))/2$. Da qui, per le relazioni tra coefficienti
e zeri dei polinomi, possiamo considerare $(x, y,z)$ come la soluzione di
$u^3-3pu^2+((3p)^2-q)/2 u-(p(5p^2-q))/2=0$, ovvero la terna di cui sopra.
Per Licio: spero di essere un tester all'altezza...
l'utente... Karl ha illustrato una soluzione rapida, che ora si può rendere generale:
da $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz=q$ si ottiene $xy+xz+yz=((3p)^2-q)/2$.
Dall'identità $x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz)]$
è facile ricavare che $xyz=(p(5p^2-q))/2$. Da qui, per le relazioni tra coefficienti
e zeri dei polinomi, possiamo considerare $(x, y,z)$ come la soluzione di
$u^3-3pu^2+((3p)^2-q)/2 u-(p(5p^2-q))/2=0$, ovvero la terna di cui sopra.
Per Licio: spero di essere un tester all'altezza...
Aggiungo un'indeterminata:
Risolvere ${(x_1+x_2+x_3+x_4=2),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0),(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=4),(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=20):}$.
Risolvere ${(x_1+x_2+x_3+x_4=2),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0),(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=4),(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=20):}$.
Il discorso si complica, ma esiste un set di equazioni che ci viene in soccorso: le formule di Newton - Girard.
Innanzitutto un pò di notazioni: una somma di potenze si indica con $S_k(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(j=1)^4x_j^k$.
I polinomi simmetrici fino al quarto in quattro variabili invece siano
$Pi_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=j<=4)x_j$;
$Pi_2(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=4)x_ix_j$;
$Pi_3(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=k<=4)x_ix_jx_k$;
$Pi_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=k<=l<=4)x_ix_jx_kx_l=prod_(i=1)^4x_i$.
Le prime formule di Newton - Girard sono
$S_1-Pi_1=0$
$S_2-S_1Pi_1+2Pi_2=0$
$S_3-S_2Pi_1+S_1Pi_2-3Pi_3$
$S_4-S_3Pi_1+S_2Pi_2-S_1Pi_3+4Pi_4=0$.
dalle quali si ottengono a catena (sfruttando i dati del problema)
$Pi_1=2$, $Pi_2=2$, $Pi_3=8/3$, $Pi_4=-13/3$.
Le soluzioni del sistema sono allora le permutazioni delle soluzioni della quartica
$u^4-Pi_1u^3+Pi_2u^2-Pi_3u+Pi_4=u^4-2u^3+2u^2-8/3 u -13/3=0$.
Tali soluzioni si possono vedere risolvendo l'equazione con Mathematica (ad esempio).
Innanzitutto un pò di notazioni: una somma di potenze si indica con $S_k(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(j=1)^4x_j^k$.
I polinomi simmetrici fino al quarto in quattro variabili invece siano
$Pi_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=j<=4)x_j$;
$Pi_2(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=4)x_ix_j$;
$Pi_3(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=k<=4)x_ix_jx_k$;
$Pi_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=sum_(1<=i<=j<=k<=l<=4)x_ix_jx_kx_l=prod_(i=1)^4x_i$.
Le prime formule di Newton - Girard sono
$S_1-Pi_1=0$
$S_2-S_1Pi_1+2Pi_2=0$
$S_3-S_2Pi_1+S_1Pi_2-3Pi_3$
$S_4-S_3Pi_1+S_2Pi_2-S_1Pi_3+4Pi_4=0$.
dalle quali si ottengono a catena (sfruttando i dati del problema)
$Pi_1=2$, $Pi_2=2$, $Pi_3=8/3$, $Pi_4=-13/3$.
Le soluzioni del sistema sono allora le permutazioni delle soluzioni della quartica
$u^4-Pi_1u^3+Pi_2u^2-Pi_3u+Pi_4=u^4-2u^3+2u^2-8/3 u -13/3=0$.
Tali soluzioni si possono vedere risolvendo l'equazione con Mathematica (ad esempio).
Ottimo.. Il "trucco" era conoscere le formule di Newton in relazione ai polinomi simmetrici elementari. (a dir la verità, i membri destri li ho inseriti a caso ).
).
"TomSawyer":
(a dir la verità, i membri destri li ho inseriti a caso
Lo avevo sospettato. Le soluzioni esatte sono mostruose...
Ciao Elgiovo, approfitto per chiederti un paio di cose
l'identità che hai scritto
come è ricavabile a partire dal primo membro?
Non mi sono messo a fare tutti i conti perchè sono sicuro che è giusta, quello che volevo sapere è se esiste un modo di arrivare al secondo membro costruttivo o se è così e basta.
Poi non ho capito bene questa parte
Cosa rappresenta $u$?
Grazie, ciao
l'identità che hai scritto
Dall'identità $x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2)-(xy+xz+yz)]$
come è ricavabile a partire dal primo membro?
Non mi sono messo a fare tutti i conti perchè sono sicuro che è giusta, quello che volevo sapere è se esiste un modo di arrivare al secondo membro costruttivo o se è così e basta.
Poi non ho capito bene questa parte
Da qui, per le relazioni tra coefficienti
e zeri dei polinomi, possiamo considerare $(x, y,z)$ come la soluzione di
$u^3-3pu^2+((3p)^2-q)/2 u-(p(5p^2-q))/2=0$, ovvero la terna di cui sopra.
Cosa rappresenta $u$?
Grazie, ciao
Per ricavare quell'identità ci si può rifare alle formule di Newton-Girard.
Infatti si ha che $S_3-S_2Pi_1+S_1P_2-3Pi_3=0$, da cui
$S_3=3Pi_3+S_2Pi_1-S_1Pi_2=3xyz+(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)-(x+y+z)(xy+xz+yz)$.
Raccogliendo $(x+y+z)$, si ottiene il risultato.
Quanto alla $u$, non è che un'indeterminata fittizia. Un esempio:
se si desidera conoscere due numeri $x_1$ e $x_2$ la cui somma è $5$ e il cui prodotto è $6$,
si può risolvere il sistema che ne discende oppure trovare le soluzioni dell'equazione
$u^2-5u+6=0$, ovvero $u^2-(x_1+x_2)u+(x_1*x_2)=0$, per le note relazioni tra i coefficienti
di un'equazione di secondo grado e le sue radici. Le relazioni tra coefficienti e radici si estendono
alle equazioni di grado più alto: ad esempio se $x_1$, $x_2$ e $x_3$ sono le radici di un'equazione
cubica, allora tale cubica è $u^3-(x_1+x_2+x_3)u^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)u-x_1x_2x_3=0$.
Infatti si ha che $S_3-S_2Pi_1+S_1P_2-3Pi_3=0$, da cui
$S_3=3Pi_3+S_2Pi_1-S_1Pi_2=3xyz+(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)-(x+y+z)(xy+xz+yz)$.
Raccogliendo $(x+y+z)$, si ottiene il risultato.
Quanto alla $u$, non è che un'indeterminata fittizia. Un esempio:
se si desidera conoscere due numeri $x_1$ e $x_2$ la cui somma è $5$ e il cui prodotto è $6$,
si può risolvere il sistema che ne discende oppure trovare le soluzioni dell'equazione
$u^2-5u+6=0$, ovvero $u^2-(x_1+x_2)u+(x_1*x_2)=0$, per le note relazioni tra i coefficienti
di un'equazione di secondo grado e le sue radici. Le relazioni tra coefficienti e radici si estendono
alle equazioni di grado più alto: ad esempio se $x_1$, $x_2$ e $x_3$ sono le radici di un'equazione
cubica, allora tale cubica è $u^3-(x_1+x_2+x_3)u^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)u-x_1x_2x_3=0$.
Più in generale, ogni polinomio simmetrico può essere scritto come combinazione dei polinomi simmetrici elementari attraverso le 4 operazioni (bisogna solo accertarsi di essere in un campo, se si vuole usare anche la divisione). E la dimostrazione di questo fatto è costruttiva, cioè fa anche vedere come farlo, con un algoritmo che viene chiamato ingenuo. Qui trovi info.
Poi, per quanto riguarda l'altro discorso, basta che guardi le formule di Vieta.
ps: mi sfugge perché anche gli americani lo chiamano "Vieta" e non "Viète"; forse l'italianizzazione dei nomi in epoca fascista ha varcato i confini?
Poi, per quanto riguarda l'altro discorso, basta che guardi le formule di Vieta.
ps: mi sfugge perché anche gli americani lo chiamano "Vieta" e non "Viète"; forse l'italianizzazione dei nomi in epoca fascista ha varcato i confini?
Mi sono un attimo bloccato sul primo link che mi hai segnalato.
Forse mi manca la terminologia (sia per l'inglese, che per alcuni termini matematici in sè).
Il significato di polinomio simmetrico è ovvio, ma non comprendo bene questi polinomi simmetrici elementari.
Sopratutto non capisco cosa centrino con il fatto che possiamo trovare una relazione tra i coefficienti di un'equazione polinomiale e le radici.
Questo che dici tu è quello che facciamo quando scriviamo
$x^2+(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
a partire dal classico
$ax^2+bx+c=0$
??
Non so, perchè io non riesco a intuire il polinomio simmetrico di partenza e nemmeno queste combinazioni.
Grazie per l'attenzione,
buona serata.
Forse mi manca la terminologia (sia per l'inglese, che per alcuni termini matematici in sè).
Il significato di polinomio simmetrico è ovvio, ma non comprendo bene questi polinomi simmetrici elementari.
Sopratutto non capisco cosa centrino con il fatto che possiamo trovare una relazione tra i coefficienti di un'equazione polinomiale e le radici.
Più in generale, ogni polinomio simmetrico può essere scritto come combinazione dei polinomi simmetrici elementari attraverso le 4 operazioni (bisogna solo accertarsi di essere in un campo, se si vuole usare anche la divisione).
Questo che dici tu è quello che facciamo quando scriviamo
$x^2+(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
a partire dal classico
$ax^2+bx+c=0$
??
Non so, perchè io non riesco a intuire il polinomio simmetrico di partenza e nemmeno queste combinazioni.
Grazie per l'attenzione,
buona serata.
Aggiungo qualche considerazione a questo argomento che mi pare di un certo interesse.
Precisamente vorrei suggerire un metodo per calcolare un'espressione simmetrica nelle
radici di un polinomio P(x) in funzione di quelle cosiddette elementari.
Il vantaggio di tale metodo e' nel fatto che e' applicabile a qualsiasi espressione simmetrica
e non solo a quelle del tipo $sumx_i^n$ che si possono trovare per ricorsione.
Avverto tuttavia che il metodo puo' diventare,in casi complessi,piuttosto laborioso ma non mi
pare ce ne siano altri ...sulla piazza.
Supponiamo di voler trasformare l'espressione $F=x_1^3+x_2^3+x_3^3$ che e' di terzo grado.
Le espressioni simmetriche elementari sono ,in tal caso:
$f_1=x_1+x_2+x_3,f_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,f_3=x_1x_2x_3$
e le uniche combinazioni possibili atte a generare F sono $f_1^3,f_1f_2,f_3$ ,ovvero quelle
di pari grado di F.
Poniamo pertanto:
(1) $F=Af_1^3+Bf_1f_2+Cf_3$ dove A,B,C sono coefficienti numerici da determinare dando a $x_1,x_2,x_3$
valori arbitrari ( la combinazione e' chiaramente indipendente da tali valori).
Pertanto avremo il seguente schema:
$x_1-----x_2-----x_3----f_1-----f_2----f_3----F$
$1------1-----1-----3-----3-----1----3$
$1------1-----0-----2-----1-----0----2$
$1------0-----0-----1-----0-----0----1$
Sostituendo tali valori nella (1) avremo il sistema:
${(27A+9B+C=3),(8A+2B=2),(A=1):}$
da cui si deduce la soluzione $A=1,B=-3,C=3$
Pertanto si avra':
$F=f_1^3-3f_1f_2+3f_3$ ,oppure in forma esplicita :
$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3(x_1x_2x_3)$
che e' una ben nota espressione.
Provate a calcolare,senza ricorrere a formule note e solo con questo procedimento,l'espressione
$x_1^5+x_2^5$ dove $x_1,x_2$ sono gli zeri del polinomio $P(x)=x^2-2x+2$
Precisamente vorrei suggerire un metodo per calcolare un'espressione simmetrica nelle
radici di un polinomio P(x) in funzione di quelle cosiddette elementari.
Il vantaggio di tale metodo e' nel fatto che e' applicabile a qualsiasi espressione simmetrica
e non solo a quelle del tipo $sumx_i^n$ che si possono trovare per ricorsione.
Avverto tuttavia che il metodo puo' diventare,in casi complessi,piuttosto laborioso ma non mi
pare ce ne siano altri ...sulla piazza.
Supponiamo di voler trasformare l'espressione $F=x_1^3+x_2^3+x_3^3$ che e' di terzo grado.
Le espressioni simmetriche elementari sono ,in tal caso:
$f_1=x_1+x_2+x_3,f_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,f_3=x_1x_2x_3$
e le uniche combinazioni possibili atte a generare F sono $f_1^3,f_1f_2,f_3$ ,ovvero quelle
di pari grado di F.
Poniamo pertanto:
(1) $F=Af_1^3+Bf_1f_2+Cf_3$ dove A,B,C sono coefficienti numerici da determinare dando a $x_1,x_2,x_3$
valori arbitrari ( la combinazione e' chiaramente indipendente da tali valori).
Pertanto avremo il seguente schema:
$x_1-----x_2-----x_3----f_1-----f_2----f_3----F$
$1------1-----1-----3-----3-----1----3$
$1------1-----0-----2-----1-----0----2$
$1------0-----0-----1-----0-----0----1$
Sostituendo tali valori nella (1) avremo il sistema:
${(27A+9B+C=3),(8A+2B=2),(A=1):}$
da cui si deduce la soluzione $A=1,B=-3,C=3$
Pertanto si avra':
$F=f_1^3-3f_1f_2+3f_3$ ,oppure in forma esplicita :
$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3(x_1x_2x_3)$
che e' una ben nota espressione.
Provate a calcolare,senza ricorrere a formule note e solo con questo procedimento,l'espressione
$x_1^5+x_2^5$ dove $x_1,x_2$ sono gli zeri del polinomio $P(x)=x^2-2x+2$
"Steven":
Mi sono un attimo bloccato sul primo link che mi hai segnalato.
Forse mi manca la terminologia (sia per l'inglese, che per alcuni termini matematici in sè).
Il significato di polinomio simmetrico è ovvio, ma non comprendo bene questi polinomi simmetrici elementari.
Sopratutto non capisco cosa centrino con il fatto che possiamo trovare una relazione tra i coefficienti di un'equazione polinomiale e le radici.
Più in generale, ogni polinomio simmetrico può essere scritto come combinazione dei polinomi simmetrici elementari attraverso le 4 operazioni (bisogna solo accertarsi di essere in un campo, se si vuole usare anche la divisione).
Questo che dici tu è quello che facciamo quando scriviamo
$x^2+(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
a partire dal classico
$ax^2+bx+c=0$
??
Non so, perchè io non riesco a intuire il polinomio simmetrico di partenza e nemmeno queste combinazioni.
Grazie per l'attenzione,
buona serata.
I polinomi simmetrici elementari sono per definizione quelli. Le relazioni tra coefficienti e radici di un polinomio le capisci benissimo dal secondo link, si tratta solo di distribuire e raccogliere opportunamente.
Lo sketch di dimostrazione che c'è nel primo link è illuminante per capire il perché ogni pol. simmetrico può essere espresso in maniera unica con quelli elementari; soprattutto perché la dim. è costruttiva, cioè ti fa anche vedere come "fattorizzare" un polinomio simmetrico, attraverso un algoritmo ingenuo. Un altro metodo è quello che ha fatto vedere licio, e ce ne sono anche altri carini. Scusa se sono stringato, ma devo scappare.
ps: occhio solo che è $ax^2+bx+c=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$.
Ah ok, per definizione. Pensavo invece che dovessero l'esistenza a qualcos' altro.
Scusa per la svista sull'equazione di secondo grado e grazie a tutti per le risposte.
Ciao.
Scusa per la svista sull'equazione di secondo grado e grazie a tutti per le risposte.
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo