Un altro limite

[baka1]

Ciao
Dovrei risolvere questo limite utilizzando i limiti notevoli

$lim_(xrarr0)(xtan(x))/(1 - cos(x))$ moltiplico e divido per $(1 + cos(x))$ e scrivo la tangente come $sin(x)/cos(x)$
$lim_(xrarr0)x*(sin(x)/cos(x))*(1/(1 - (cos(x))^2))+(1 + cos(x))$ semplificando il $sin(x)$ con il $(sin(x))^2$ diventa
$lim_(xrarr0)((x)*(1 + cos(x)))/(cos(x)*sin(x))$ ora so che il $sin(x)$ è equivalente a $x$ per $xrarr0$ quindi semplifico e viene 2 che è corretto,
però vorrei sapere se posso veramente fare quest'ultimo passaggio e come potrei fare se non volessi usare le equivalenze?

[_nicola de rosa]

Farei così: giusto moltiplicare e dividere per $1+cosx$,ottenendo
$lim_(x->0)(xtanx)*(1+cosx)/(1-cos^2x)=lim_(x->0)(xtanx)*(1+cosx)/(sin^2x)=lim_(x->0)(tanx)/x*(1+cosx)*x^2/(sin^2x)$
Ora sai che $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ e $lim_(x->0)(tanx)/x=1$ per cui il limite richiesto vale $lim_(x->0)(tanx)/x*lim_(x->0)(1+cosx)*lim_(x->0)((sinx)/x)^(-2)=1*2*1=2$

[baka1]

Scusa ma non riesco a capire il terzo passaggio e comunque è proprio sbagliato sostituire $x$ a $sin(x)$?

[_nicola de rosa]

"baka":Scusa ma non riesco a capire il terzo passaggio e comunque è proprio sbagliato sostituire $x$ a $sin(x)$?

non è sbagliato, ma così non usi i limiti notevoli bensì gli sviluppi in serie.
il mio passaggioo era
$(xtanx)/(1-cosx)=(xtanx)/(1-cosx)*(1+cosx)/(1+cosx)=((xtanx)*(1+cosx))/(1-cos^2x)=((xtanx)*(1+cosx))/(sin^2x)=(tanx)/x*(1+cosx)*x^2/(sin^2x)$
cioè ho scritto $xtanx=x^2*(tanx)/x$

[baka1]

Grazie, mi sei stato veramente d'aiuto