Ultimi tre quesiti
1) scrivere f(x)=e^x + sen x come somma di una funzione pari e
di una dispari
2) tracciare il grafico della funzione
f(x)=int tra 0 e sen 2x di e^(t^2)dt , dopo averne precisato il
periodo
3)indicare una procedura (senza svolgere i calcoli)per trovare
una primitiva della funzione 1/(x^4 + 4)
SUGGERIMENTO: dimostrare che x^4 + 4 =(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f)
con a b c d e f parametri reali da determinare
di una dispari
2) tracciare il grafico della funzione
f(x)=int tra 0 e sen 2x di e^(t^2)dt , dopo averne precisato il
periodo
3)indicare una procedura (senza svolgere i calcoli)per trovare
una primitiva della funzione 1/(x^4 + 4)
SUGGERIMENTO: dimostrare che x^4 + 4 =(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f)
con a b c d e f parametri reali da determinare
Risposte
ho provato solo il 1 e no mi è venuto. però molto bello. aspetto con ansia la soluzione 
Ti dò un suggerimento:
osserva che f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
osserva che f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
Certo Alessandro, una funzione integrale
più ostica di questa è proprio introvabile...
Complimenti! ...
più ostica di questa è proprio introvabile...
Complimenti! ...
1)Premetto che ci sono riuscita solo applicando il suggerimento [:P]
f(x)=sh(x)+ch(x)+sen(x)
sh(x) e ch(x) sono il seno e il coseno iperbolici.
ch(x) è una funzione pari
mentre sh(x)+sen(x) è dispari.
Paola
ps Piera, ma quella funzione integrale non è un po' fuori portata per noi studenti delle superiori? [:)] Dacce 'na mano magari [:P]...!
f(x)=sh(x)+ch(x)+sen(x)
sh(x) e ch(x) sono il seno e il coseno iperbolici.
ch(x) è una funzione pari
mentre sh(x)+sen(x) è dispari.
Paola
ps Piera, ma quella funzione integrale non è un po' fuori portata per noi studenti delle superiori? [:)] Dacce 'na mano magari [:P]...!
Brava prime number!!
ho dato questa funzione proprio per stimolare le
doti di fireball che ritengo notevoli.
Se guardi infatti gli esercizi da me proposti
(sono quelli di Alessandro Pieragalli)non ce ne sono
di cosi difficili.
Ditemi pure cosa non vi riesce della funzione integrale
ho dato questa funzione proprio per stimolare le
doti di fireball che ritengo notevoli.
Se guardi infatti gli esercizi da me proposti
(sono quelli di Alessandro Pieragalli)non ce ne sono
di cosi difficili.
Ditemi pure cosa non vi riesce della funzione integrale
sarà che sono un semplice studente del tradizionale, ma SH e Ch (seno e coseno iperbolici) non li ho mai sentiti, quindi anche con l'aiuto non ce l'avrei mai fatta.
poi piera volevo farti una domanda che forse è molto ingorante... di solito, nelle funzioni integrali, se si dimezzano gli estremi, la funzione raddoppia, se si triplicano, la funzione diventa un terzo etc... si potrebbe pensare (sempre per una persona ignorantissima come me) che il rapporto sia di funzione inversa... quindi è lecito dire che se io faccio l'arcoseno degli estremi, faccio il seno dlla funzione e quindi la funzione rimane uguale? ovvero fare int tra 0 e 2x di sen(e^(t^2)) dt....
poi piera volevo farti una domanda che forse è molto ingorante... di solito, nelle funzioni integrali, se si dimezzano gli estremi, la funzione raddoppia, se si triplicano, la funzione diventa un terzo etc... si potrebbe pensare (sempre per una persona ignorantissima come me) che il rapporto sia di funzione inversa... quindi è lecito dire che se io faccio l'arcoseno degli estremi, faccio il seno dlla funzione e quindi la funzione rimane uguale? ovvero fare int tra 0 e 2x di sen(e^(t^2)) dt....
no giacor86 quello che dici non è vero.
SUGGERIMENTO PER LA FUNZIONE INTEGRALE:
trovate il periodo e studiatela nell'intervallo [0,periodo]
forse la parte più difficile è il segno
osservate che e^(t^2) è sempre positiva
cosa accade alla funzione quando sen 2x = 0?
cosa accade al segno della funzione quando sen 2x > 0 ?
e quando sen 2x < 0 ? in questo caso è utile ricordare
che int tra 0 e numero negativo = - int tra numero negativo e 0
SUGGERIMENTO PER LA FUNZIONE INTEGRALE:
trovate il periodo e studiatela nell'intervallo [0,periodo]
forse la parte più difficile è il segno
osservate che e^(t^2) è sempre positiva
cosa accade alla funzione quando sen 2x = 0?
cosa accade al segno della funzione quando sen 2x > 0 ?
e quando sen 2x < 0 ? in questo caso è utile ricordare
che int tra 0 e numero negativo = - int tra numero negativo e 0
vediamo.. il periodo è kpigreco. in 0, in pi/2 e in pi, la funzione vale 0 e avrà il suo massimo in pi/4 e il minimo in 3/4pi. cioè l'ho detto enza conti ma solo con un ragionamento. la funzione integrale ha come arggomento una funzione pari. quindi l'area calcolata fra 0 e 1 è uguale ed opposta all'area calcolata fra 0 e -1 (si torna indietro, però l'area è simmetrica). dico proprio 1 e -1 perchè sono i 2 valori massimo e minimo che può assumere il 2 estremo di integrazione. quindi quando il seno varrà 1, la funzione avrà il suo massimo e quando varrà meno 1 avrà il minimo (con quote uguali ed opposte che non calcolo perchè non ho voglia di risolvere l'integrale). sin2x=1 2x=pi/2 x= pi4, sin2x=-1 2x=3/2pi x=3/4pi. il suo aspetto sarà quindi simile a quello di sen2x, però non sarà una sinusoide perfetta e avrà un'altezza diversa da 1. questo è l'unica cosa che so idre della funzione. non chiedetemi conti tipo derivate e ordiante dei minimi o flessi perchè no ne sarei in grado.
IMPORTANTE : quando ti si chiede il periodo non ci devi mettere il k ma solo il numero, quindi il periodo è pigreco.
Dopo ti faccio i miei complimenti perché hai fatto un bel ragionamento!!
Se ti può interessare il seno iperbolico = (e^x – e^-x)/2
coseno iperbolico= (e^x+e^-x)/2, adesso puoi capire quello che ha
fatto prime number (l’esercizio può essere fatto anche senza scrivere seno e coseno iperbolico,basta lasciare le espressioni che ho scritto ora).
Se ti vuoi esercitare ulteriormente per la maturità puoi provare a fare gli esercizi di Alessandro Pieragalli presenti su questo sito sotto la voce esame di stato temi svolti
Dopo ti faccio i miei complimenti perché hai fatto un bel ragionamento!!
Se ti può interessare il seno iperbolico = (e^x – e^-x)/2
coseno iperbolico= (e^x+e^-x)/2, adesso puoi capire quello che ha
fatto prime number (l’esercizio può essere fatto anche senza scrivere seno e coseno iperbolico,basta lasciare le espressioni che ho scritto ora).
Se ti vuoi esercitare ulteriormente per la maturità puoi provare a fare gli esercizi di Alessandro Pieragalli presenti su questo sito sotto la voce esame di stato temi svolti
:O piera.. ieri sera cercavo di risolvere il problema 1 e combinazione dopo un po' di conti mi è risultato prorpio un (e^x-e^-x)/2... ti spiego cosa ho fatto poi mi dici se c'è qualche analogia...
io ho preso 2 funzioni f(t) dispari e g(t) pari.
ho scritto quindi che
INT tra -x e x di f(t) in dt è = 0 perchè f(x) è dispari
INT tra -x e x di g(t) in dt è = 2 INT tra 0 e x di g(t) in dt perchè g(x) è pari
INT tra -x e x si sent in dt è = 0 perchè sinx è dispari
f(t) + g(t) = e^x + senx
poi ho fatto l'integrale da -x e x di questa uguaglianza e ho ottenuto che
tra -x e x di f(t)+g(t) in dt = tra -x e x di e^t + sent in dt
ho diviso gli integrali in 2 integrali, ho sostituito con le primissime uguaglianze che ho scritto ottenendo:
2 INT tra 0 e x di g(t) in dt = INT tra -x e x di e^t in dt
2 INT tra 0 e x di g(t) in dt = e^x - e^-x
INT tra 0 e x di g(t) = (e^x - e^-x)/2
poi dopo essere giunto a questo punto era tardi, avevo sonno non sapevo più cosa fare, allora ho lasciato il mio primo post in questo topic e ci ho rinunciato. però mi sembra molto curioso che nei miei ragionamenti c'è proprio (e^x - e^-x)/2 cosa che tu chiami seno iperbolico... quindi forse qualcosa di giuso in quello che ho fatto c'è...
io ho preso 2 funzioni f(t) dispari e g(t) pari.
ho scritto quindi che
INT tra -x e x di f(t) in dt è = 0 perchè f(x) è dispari
INT tra -x e x di g(t) in dt è = 2 INT tra 0 e x di g(t) in dt perchè g(x) è pari
INT tra -x e x si sent in dt è = 0 perchè sinx è dispari
f(t) + g(t) = e^x + senx
poi ho fatto l'integrale da -x e x di questa uguaglianza e ho ottenuto che
tra -x e x di f(t)+g(t) in dt = tra -x e x di e^t + sent in dt
ho diviso gli integrali in 2 integrali, ho sostituito con le primissime uguaglianze che ho scritto ottenendo:
2 INT tra 0 e x di g(t) in dt = INT tra -x e x di e^t in dt
2 INT tra 0 e x di g(t) in dt = e^x - e^-x
INT tra 0 e x di g(t) = (e^x - e^-x)/2
poi dopo essere giunto a questo punto era tardi, avevo sonno non sapevo più cosa fare, allora ho lasciato il mio primo post in questo topic e ci ho rinunciato. però mi sembra molto curioso che nei miei ragionamenti c'è proprio (e^x - e^-x)/2 cosa che tu chiami seno iperbolico... quindi forse qualcosa di giuso in quello che ho fatto c'è...
IDEA!!! scrivendo questo post mi è venuta in mente la continuazuone!!! copio l'ultimo passaggio
INT tra 0 e x di g(t) = (e^x - e^-x)/2
dico che l'integrale di g(t) è G(t) tale che G'(t) 0 g(t) per il teorema del calcolo integrale
G(x) - G(0) = (e^x - e^-x)/2
G(X) = (e^x)/2 - (e^-x)/2 + G(0)
derivo a destra e sinistra
G'(X) = (e^x)/2 + (e^-x)/2 +G'(0)
g(x) = (e^x + e^-x)/2 + g(0)
azz mi incarto ancora. non so come togliere il g(0) [:(] sarebbe bello poter togliere il g(0) così ottengo che la funzione g(x) che doveva essere pari è proprio quello che tu chiami coseno perbolico! tanti contti per nulla?? spero proprio di no!!
INT tra 0 e x di g(t) = (e^x - e^-x)/2
dico che l'integrale di g(t) è G(t) tale che G'(t) 0 g(t) per il teorema del calcolo integrale
G(x) - G(0) = (e^x - e^-x)/2
G(X) = (e^x)/2 - (e^-x)/2 + G(0)
derivo a destra e sinistra
G'(X) = (e^x)/2 + (e^-x)/2 +G'(0)
g(x) = (e^x + e^-x)/2 + g(0)
azz mi incarto ancora. non so come togliere il g(0) [:(] sarebbe bello poter togliere il g(0) così ottengo che la funzione g(x) che doveva essere pari è proprio quello che tu chiami coseno perbolico! tanti contti per nulla?? spero proprio di no!!
Premetto che sono appena tornato a casa e che ho letto piuttosto rapidamente il tuo post.
Mi sembra che sotto l’ipotesi che g(t) e f(t) siano definite su R e integrabili, tutti i passaggi del primo post siano giusti.
A questo punto ti ricordo che il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma sotto opportune ipotesi che la funzione integrale G(x)= int tra 0 e x g(t)dt ha per derivata la funzione G’(x)=g(x) .
Nel nostro caso abbiamo G(x)= int tra 0 e x g(t)dt = (e^x - e^-x)/2
da cui applicando il sopracitato teorema si ha
G’(x)=g(x)=derivata[(e^x - e^-x)/2 ] =(e^x + e^-x)/2
che è appunto il coseno iperbolico.
Poiché f(x) + g(x) = e^x + senx , f(x) = e^x + senx - g(x)= =(e^x - e^-x)/2 + senx
che è appunto una funzione dispari.
Non mi pare che ci siano errori nascosti. Spero che Luca.Lussardi , che è sicuramente molto più bravo di me, intervenga per esprimere il suo parere su questa risoluzione.
Ti faccio comunque i complimenti giacor86 per il procedimento originale che hai trovato!!
Mi sembra che sotto l’ipotesi che g(t) e f(t) siano definite su R e integrabili, tutti i passaggi del primo post siano giusti.
A questo punto ti ricordo che il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma sotto opportune ipotesi che la funzione integrale G(x)= int tra 0 e x g(t)dt ha per derivata la funzione G’(x)=g(x) .
Nel nostro caso abbiamo G(x)= int tra 0 e x g(t)dt = (e^x - e^-x)/2
da cui applicando il sopracitato teorema si ha
G’(x)=g(x)=derivata[(e^x - e^-x)/2 ] =(e^x + e^-x)/2
che è appunto il coseno iperbolico.
Poiché f(x) + g(x) = e^x + senx , f(x) = e^x + senx - g(x)= =(e^x - e^-x)/2 + senx
che è appunto una funzione dispari.
Non mi pare che ci siano errori nascosti. Spero che Luca.Lussardi , che è sicuramente molto più bravo di me, intervenga per esprimere il suo parere su questa risoluzione.
Ti faccio comunque i complimenti giacor86 per il procedimento originale che hai trovato!!
In attesa del parere di Luca, dò la risoluzione del
terzo quesito.
X^4 + 4 = X^4 + 4 + 4x^2 - 4x^2 =[x^2 + 2]^2 -4x^2 =
=[x^2 + 2 + 2x][x^2 +2 -2x]
nell'ultimo passaggio ho applicato A^2 - B^2 =(A+B)(A-B)
A questo punto l'integrale si calcola con la solita scomposizione
1/(x^4 + 4)=[Ax+B]/(x^2 + 2x +2] + [CX+D]/[x^2 -2x +2]
IN BOCCA AL LUPO A TUTTI I MATURANDI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
terzo quesito.
X^4 + 4 = X^4 + 4 + 4x^2 - 4x^2 =[x^2 + 2]^2 -4x^2 =
=[x^2 + 2 + 2x][x^2 +2 -2x]
nell'ultimo passaggio ho applicato A^2 - B^2 =(A+B)(A-B)
A questo punto l'integrale si calcola con la solita scomposizione
1/(x^4 + 4)=[Ax+B]/(x^2 + 2x +2] + [CX+D]/[x^2 -2x +2]
IN BOCCA AL LUPO A TUTTI I MATURANDI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
missà che quello che hai scritto corrisponde al miio 2 topic... (credo).
E cmq speriamo che crepi sto lupaccio schifoso....
E cmq speriamo che crepi sto lupaccio schifoso....
In pratica si, ma se esiste il teorema fondamentale del
calcolo integrale perchè non applicarlo?
Comunque nel tuo procedimento G'(0)=0 perchè è
la derivata di una costante.
calcolo integrale perchè non applicarlo?
Comunque nel tuo procedimento G'(0)=0 perchè è
la derivata di una costante.
quote:
Originally posted by giacor86
dico che l'integrale di g(t) è G(t) tale che G'(t) 0 g(t) per il teorema del calcolo integrale
è sbagliato dire questo?
e poi grazie 1000 non avevo pensato che g(0) è una costante e quindi il tutto non cambia [:D]
Nell'ultimo post ho sbagliato a scrivere:
quando derivi G(0) che è un numero, si ha [G(0)]'=0
non G'(0). Risposta domanda:
Basta che tu dica indico con G(t) una primitiva di g(t).
P.S. Se dovesse uscire alla maturità un esercizio
simile al mio, applica il suggerimento che ho postato all'inizio.
quando derivi G(0) che è un numero, si ha [G(0)]'=0
non G'(0). Risposta domanda:
Basta che tu dica indico con G(t) una primitiva di g(t).
P.S. Se dovesse uscire alla maturità un esercizio
simile al mio, applica il suggerimento che ho postato all'inizio.
ehm se devo essere proprio sincero il tuo suggerimento non l'ho capito...
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
per dimostrarlo somma i termini a secondo membro (vedrai che viene f(x)=f(x) )
ora f(x)=e^x +sen x , f(-x)=e^-x + sen(-x)
sostituendo queste due espressioni nel secondo membro dopo un po’ di calcoli ottieni
f(x)= (e^x + e^-x)/2 + (e^x - e^-x)/2 + sen x
adesso verifica che (e^x + e^-x)/2 è una funzione pari e che
(e^x - e^-x)/2 + sen x è dispari
osserva che non è necessario conoscere il seno e il coseno iperbolico
per dimostrarlo somma i termini a secondo membro (vedrai che viene f(x)=f(x) )
ora f(x)=e^x +sen x , f(-x)=e^-x + sen(-x)
sostituendo queste due espressioni nel secondo membro dopo un po’ di calcoli ottieni
f(x)= (e^x + e^-x)/2 + (e^x - e^-x)/2 + sen x
adesso verifica che (e^x + e^-x)/2 è una funzione pari e che
(e^x - e^-x)/2 + sen x è dispari
osserva che non è necessario conoscere il seno e il coseno iperbolico
ok.. non ci sarei mai arrivato così... l'unico modo accessibile dalla mia mente è quello che ti ho detto...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo