Ulteriore esercizio sempre circonferenza

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Disegna una circonferenza di centro O e diametro AB, e una retta r che interseca la circonferenza nei punti C e D. Conduci da A e da B le perpendicolari AE e BF alla retta r. Dimostra che EC=FD
(Suggerimento. Traccia da O la perpendicolare a CD e considera il fascio di rette)

E' giusto dire cosi':
La perpendicolare condotta da O alla retta r divide in due parti uguali la corda CD; chiamo H l'intersezione, allora ho CH = HD, ma EF = EC + CH + GD + DF ed EH = HF, ma poichè CH = HD risulta EC = DF.
Non so se è giusto dire EH=HF... e forse anche la dimostrazione non è giusta......